Завдання № 52. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відомо, що $|\overrightarrow{a}|=4$, $|\overrightarrow{b}|=3$ і кут між векторами $\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=120^{\circ }$. Знайдіть значення виразу $(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b})$.

Покроковий розв’язок:

1. Розкриття дужок за правилами множення многочленів

Використовуючи розподільну та переставну властивості скалярного добутку векторів, перемножимо вирази у дужках:

2. Обчислення скалярних квадратів та скалярного добутку векторів

За означенням та властивостями скалярного добутку:

• Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:
  ${\overrightarrow{a}}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2=4^2=16$
  ${\overrightarrow{b}}^2=|\overrightarrow{b}{|}^2=3^2=9$
• Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їхніх модулів на косинус кута між ними:
  $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos 120^{\circ }$

Оскільки $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}=-0,5$, маємо:
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=4\cdot 3\cdot (-0,5)=12\cdot (-0,5)=-6$

3. Підстановка значень у вираз

Підставимо знайдені значення у перетворений вираз:

Відповідь:
$-223$