Завдання № 52. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На осі абсцис знайдіть точки, з яких відрізок $AB$ видно під прямим кутом, якщо $A(6;0)$, $B(14;6)$.

Покроковий розв’язок:

Відрізок $AB$ видно з точки $C$ під прямим кутом тоді й тільки тоді, коли $\angle ACB=90^{\circ }$, тобто коли точка $C$ не збігається з кінцями відрізка $A$ та $B$, а вектори $\overrightarrow{CA}$ та $\overrightarrow{CB}$ взаємно перпендикулярні.

1. Координати шуканої точки та векторів

Оскільки точка $C$ лежить на осі абсцис ($Ox$), її ордината дорівнює нулю:
$C(x;0)$

Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{CA}$ та $\overrightarrow{CB}$:

2. Умова перпендикулярності векторів

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:
$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$

Обчислимо скалярний добуток через координати:
$(6-x)\cdot (14-x)+0\cdot 6=0$
$(6-x)(14-x)=0$

Звідси отримуємо два корені:
$x_1=6\text{або}{x}_2=14$

3. Аналіз знайдених розв’язків

• Якщо $x=6$, то точка $C(6;0)$ збігається з точкою $A(6;0)$. У такому випадку вектор $\overrightarrow{CA}=\vec{0}$ є нульовим, кут $\angle ACB$ не визначений (з кінця відрізка неможливо бачити цей відрізок під прямим кутом). Отже, значення $x=6$ не задовольняє умову задачі.
• Якщо $x=14$, отримуємо точку $C(14;0)$. Перевіримо вектори: $\overrightarrow{CA}=(-8;0)\ne \vec{0}$, $\overrightarrow{CB}=(0;6)\ne \vec{0}$. Їхній скалярний добуток $(-8)\cdot 0+0\cdot 6=0$, отже, $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$ і $\angle ACB=90^{\circ }$.

Геометрично множина всіх точок площини, з яких відрізок $AB$ видно під прямим кутом, є колом із діаметром $AB$ (без самих точок $A$ і $B$). Вісь абсцис перетинає це коло в двох точках: $A(6;0)$ та $C(14;0)$.

Відповідь:
$(14;0)$