Завдання № 51. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Центр кола, вписаного у прямокутний трикутник, лежить на відстанях $\sqrt{5}\text{ см}$ і $\sqrt{10}\text{ см}$ від кінців гіпотенузи. Знайдіть довжину цього кола.

Покроковий розв’язок:

Нехай у прямокутному трикутнику $ABC$ кут $\angle C=90^{\circ }$, гіпотенуза — $AB$. Точка $O$ — центр вписаного кола, причому $OA=\sqrt{10}\text{ см}$, $OB=\sqrt{5}\text{ см}$.

1. Знаходження кута $\angle AOB$

Центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис внутрішніх кутів трикутника. Отже, відрізки $AO$ та $BO$ — бісектриси гострих кутів $\angle A$ і $\angle B$:
$\angle OAB=\frac{1}{2}\angle A,\angle OBA=\frac{1}{2}\angle B$

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$ ($\angle A+\angle B=90^{\circ }$), маємо:
$\angle OAB+\angle OBA=\frac{\angle A+\angle B}{2}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

Розглянемо $△AOB$. Сума кутів будь-якого трикутника становить $180^{\circ }$, тому:
$\angle AOB=180^{\circ }-(\angle OAB+\angle OBA)=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$

2. Обчислення гіпотенузи $AB$

Застосуємо теорему косинусів для $△AOB$:
$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos \angle AOB$

Підставимо відомі значення ($OA=\sqrt{10}\text{ см}$, $OB=\sqrt{5}\text{ см}$, $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$):

Звідси отримуємо довжину гіпотенузи:
$AB=\sqrt{25}=5\text{ см}$

3. Знаходження радіуса вписаного кола

Нехай $K$ — точка дотику вписаного кола до гіпотенузи $AB$. Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до сторони ($OK\perp AB$), тому $OK=r$ є висотою $△AOB$, проведеною до сторони $AB$.

Знайдемо площу $△AOB$ двома способами:

• Через дві сторони та кут між ними:
  $S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin 135^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10}\cdot \sqrt{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{100}}{2}=\frac{10}{4}=2,5{\text{ см}}^2$
• Через сторону та проведену до неї висоту:
  $S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot r$

Прирівняємо отримані вирази:
$\frac{1}{2}\cdot 5\cdot r=2,5$
$2,5\cdot r=2,5⟹r=1\text{ см}$

4. Обчислення довжини кола

Довжина кола $C$ обчислюється за формулою:
$C=2\pi r=2\pi \cdot 1=2\pi \text{ см}$

Відповідь: $2\pi \text{ см}$