Завдання № 51. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Площа трикутника дорівнює $5{\text{ см}}^2$, а дві його сторони — $3\text{ см}$ і $4\text{ см}$. Знайдіть площі трикутників, на які він ділиться бісектрисою кута між цими сторонами.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення співвідношення площ трикутників

Нехай у трикутнику $△ABC$ сторони дорівнюють $AB=3\text{ см}$ і $AC=4\text{ см}$, а відрізок $AM$ — бісектриса кута $A$.

Позначимо рівні кути, утворені бісектрисою:
$\angle BAM=\angle CAM=\alpha$

За формулою площі трикутника через дві сторони та синус кута між ними:
$S_{△ABM}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AM\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot AM\cdot \sin \alpha =\frac{3}{2}\cdot AM\cdot \sin \alpha$

$S_{△ACM}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AM\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot 4\cdot AM\cdot \sin \alpha =2\cdot AM\cdot \sin \alpha$

Знайдемо відношення площ цих трикутників:
$\frac{S_{△ABM}}{S_{△ACM}}=\frac{\frac{3}{2}\cdot AM\cdot \sin \alpha }{2\cdot AM\cdot \sin \alpha }=\frac{3}{4}$

(Цей самий висновок випливає з властивості бісектриси трикутника: бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам, тобто $\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$, а трикутники зі спільною висотою мають площі, пропорційні основам).

2. Обчислення шуканих площ

Оскільки бісектриса ділить трикутник $△ABC$ на дві частини, сума їхніх площ дорівнює повній площі трикутника:
$S_{△ABM}+S_{△ACM}=S_{△ABC}=5{\text{ см}}^2$

Нехай одна частина становить $x$. Тоді $S_{△ABM}=3x$, а $S_{△ACM}=4x$:
$3x+4x=5$
$7x=5⟹x=\frac{5}{7}$

Обчислимо площу кожного з трикутників:
$S_{△ABM}=3\cdot \frac{5}{7}=\frac{15}{7}=2\frac{1}{7}{\text{ см}}^2$

$S_{△ACM}=4\cdot \frac{5}{7}=\frac{20}{7}=2\frac{6}{7}{\text{ см}}^2$

Відповідь: $2\frac{1}{7}{\text{ см}}^2$ і $2\frac{6}{7}{\text{ см}}^2$.