Завдання № 51. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано довжини векторів $|\vec{a}|=1$ та $|\vec{b}|=2$. Знайдіть кут між векторами $\vec{a}$ і $\vec{b}$, якщо:

1) $\vec{a}\cdot \vec{b}=2$;

2) $\vec{a}\cdot \vec{b}=1$;

3) $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$;

4) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-\sqrt{3}$;

5) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$;

6) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-2$.

Покроковий розв’язок:

За означенням скалярний добуток векторів дорівнює добутку їхніх модулів на косинус кута між ними:
$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \angle (\vec{a},\vec{b})$

Звідси косинус кута між векторами виражається за формулою:
$\cos \angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$

Оскільки за умовою $|\vec{a}|=1$ і $|\vec{b}|=2$, знайдемо знаменник:
$|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|=1\cdot 2=2$

Отже, формула для знаходження косинуса кута набуває вигляду:
$\cos \angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2}$

Кут $\phi =\angle (\vec{a},\vec{b})$ між двома векторами може набувати значень у межах $0^{\circ }\le \phi \le 180^{\circ }$.

Знайдемо цей кут для кожного випадку:

1) Якщо $\vec{a}\cdot \vec{b}=2$:
$\cos \angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{2}{2}=1⟹\angle (\vec{a},\vec{b})=0^{\circ }$
(вектори співнапрямлені, тобто $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$).

2) Якщо $\vec{a}\cdot \vec{b}=1$:
$\cos \angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{1}{2}⟹\angle (\vec{a},\vec{b})=60^{\circ }$

3) Якщо $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$:
$\cos \angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{0}{2}=0⟹\angle (\vec{a},\vec{b})=90^{\circ }$
(вектори взаємно перпендикулярні, тобто $\vec{a}\perp \vec{b}$).

4) Якщо $\vec{a}\cdot \vec{b}=-\sqrt{3}$:
$\cos \angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Оскільки косинус від’ємний, шуканий кут є тупим:
$\angle (\vec{a},\vec{b})=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$

5) Якщо $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$:
$\cos \angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$
$\angle (\vec{a},\vec{b})=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

6) Якщо $\vec{a}\cdot \vec{b}=-2$:
$\cos \angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{-2}{2}=-1⟹\angle (\vec{a},\vec{b})=180^{\circ }$
(вектори протилежно напрямлені, тобто $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$).

Відповідь:

1) $0^{\circ }$;

2) $60^{\circ }$;

3) $90^{\circ }$;

4) $150^{\circ }$;

5) $120^{\circ }$;

6) $180^{\circ }$.