Завдання № 51. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння кола, яке проходить через точки $A(0;-3)$ і $B(9;0)$, якщо центр кола лежить на осі абсцис.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат центра кола
Загальне рівняння кола з центром у точці $C(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Оскільки за умовою центр кола належить осі абсцис (осі $Ox$), його ордината дорівнює нулю: $b=0$.
Позначимо координати центра кола як $C(a;0)$.

2. Знаходження абсциси центра
Точки $A(0;-3)$ і $B(9;0)$ лежать на колі, тому відстані від центра кола $C$ до цих точок однакові та дорівнюють радіусу кола:
$CA=CB=R⟹C{A}^2=C{B}^2$

Використовуючи формулу відстані між двома точками, запишемо квадрати довжин відрізків $CA$ і $CB$:
$C{A}^2=(a-0{)}^2+(0-(-3){)}^2=a^2+3^2=a^2+9$
$C{B}^2=(a-9{)}^2+(0-0{)}^2=(a-9{)}^2=a^2-18\cdot a+81$

Прирівняємо вирази для $C{A}^2$ та $C{B}^2$:
$a^2+9=a^2-18\cdot a+81$

Спростимо отримане лінійне рівняння:
$18\cdot a=81-9$
$18\cdot a=72$
$a=\frac{72}{18}=4$

Отже, центром кола є точка $C(4;0)$.

3. Обчислення радіуса кола
Підставимо значення $a=4$ у формулу для $R^2$:
$R^2=C{A}^2=4^2+9=16+9=25$
$R=\sqrt{25}=5$

4. Складання рівняння кола
Підставимо координати центра $(4;0)$ та квадрат радіуса $R^2=25$ у рівняння кола:
$(x-4{)}^2+(y-0{)}^2=25$
$(x-4{)}^2+y^2=25$

Відповідь:
$(x-4{)}^2+y^2=25$