Завдання № 51. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Через точку $M$, що лежить усередині кола, проведено дві хорди $AB$ і $CD$ так, що $AM=MB$, $CM=8\text{ см}$, а відношення $DM:MC=1:4$. Знайдіть довжину хорди $AB$.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення довжини відрізка $DM$
За умовою задачі відношення відрізків хорди $CD$ дорівнює:
$\frac{DM}{MC}=\frac{1}{4}$

Оскільки $CM=8\text{ см}$, маємо:
$DM=\frac{MC}{4}=\frac{8}{4}=2\text{ см}$

2. Застосування теореми про перетин хорд кола
За теоремою про пропорційність відрізків хорд, що перетинаються: якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків другої хорди:
$AM\cdot MB=CM\cdot DM$

3. Знаходження довжини відрізка $AM$
Оскільки за умовою точка $M$ ділить хорду $AB$ навпіл ($AM=MB$), підставимо відомі значення у рівність:
$AM\cdot AM=8\cdot 2$
$A{M}^2=16$

Оскільки довжина відрізка є додатним числом:
$AM=\sqrt{16}=4\text{ см}$

4. Знаходження повної довжини хорди $AB$
Оскільки $AM=MB=4\text{ см}$, довжина всієї хорди дорівнює:
$AB=AM+MB=4+4=8\text{ см}$

Відповідь:
$8\text{ см}$