Завдання № 50. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У круг радіуса $R$ вписано три круги однакового радіуса так, що кожен з них дотикається до двох інших та до даного круга. Обчисліть площу зафарбованої фігури.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між радіусами кругів
Нехай $O$ — центр даного великого круга радіуса $R$, а $O_1,O_2,O_3$ — центри трьох однакових менших кругів радіуса $r$.

Оскільки малі круги попарно дотикаються один до одного зовні, відстань між їхніми центрами дорівнює сумі їхніх радіусів:
$O_1{O}_2=O_2{O}_3=O_3{O}_1=r+r=2r$

Отже, $△O_1{O}_2{O}_3$ — правильний (рівносторонній) трикутник зі стороною $a=2r$.

З міркувань симетрії центр великого круга $O$ збігається з центром (центроїдом та центром описаного кола) трикутника $△O_1{O}_2{O}_3$.

Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника зі стороною $a=2r$, дорівнює:
$O{O}_1=O{O}_2=O{O}_3=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2r}{\sqrt{3}}$

Оскільки малі круги дотикаються до великого круга внутрішнім чином, радіус $R$ великого круга дорівнює відстані від його центра $O$ до точки дотику:
$R=O{O}_1+r=\frac{2r}{\sqrt{3}}+r=r\cdot \left(\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)$

Виразимо радіус $r$ через $R$, позбувшись ірраціональності в знаменнику:
$r=\frac{R\cdot \sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{R\sqrt{3}\cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{R(2\sqrt{3}-3)}{4-3}=R(2\sqrt{3}-3)$

2. Обчислення площі зафарбованої фігури
Зафарбована частина утворена простором між трьома малими кругами, що взаємно дотикаються. Її площа дорівнює різниці площі правильного трикутника $△O_1{O}_2{O}_3$ і трьох однакових кругових секторів із кутами $60^{\circ }$ (оскільки кожен кут правильного трикутника дорівнює $60^{\circ }$):

Площа рівностороннього трикутника $△O_1{O}_2{O}_3$:
$S_{△}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(2r{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4r^2\sqrt{3}}{4}=r^2\sqrt{3}$

Сумарна площа трьох секторів:
$S_{\text{сект}}=3\cdot \frac{\pi r^2\cdot 60^{\circ }}{360^{\circ }}=3\cdot \frac{\pi r^2}{6}=\frac{\pi r^2}{2}$

Отже, площа зафарбованої фігури:
$S=S_{△}-S_{\text{сект}}=r^2\sqrt{3}-\frac{\pi r^2}{2}=r^2\cdot \left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}\right)$

3. Підстановка виразу для $r$
Підставимо раніше знайдене значення $r=R(2\sqrt{3}-3)$:
$r^2=R^2\cdot (2\sqrt{3}-3{)}^2=R^2\cdot \left((2\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3+3^2\right)=R^2(12-12\sqrt{3}+9)=R^2(21-12\sqrt{3})$

Винесемо спільний множник $3$ за дужки:
$r^2=3R^2(7-4\sqrt{3})$

Таким чином, шукана площа становить:
$S=3R^2(7-4\sqrt{3})\left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}\right)$

Відповідь:
$3R^2(7-4\sqrt{3})\left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}\right)$