Завдання № 50. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У крузі радіуса $R$ по різні боки від центра проведено дві паралельні між собою хорди, одна з яких стягує дугу $60^{\circ }$, друга — $120^{\circ }$. Знайдіть площу частини круга, що міститься між хордами.

Покроковий розв’язок:

Шукана фігура утворюється вилученням із повного круга двох кругових сегментів, осічених хордами $AB$ та $CD$. Оскільки хорди лежать по різні боки від центра круга $O$, площа шуканої фігури дорівнює різниці між площею круга та сумою площ двох відповідних сегментів:
$S=S_{\text{круга}}-(S_{\text{сег. 1}}+S_{\text{сег. 2}})$

1. Площа повного круга

Площа круга радіуса $R$ визначається за формулою:
$S_{\text{круга}}=\pi R^2$

2. Площа першого сегмента (що спирається на дугу $60^{\circ }$)

Площа кругового сегмента дорівнює різниці площі сектора та площі трикутника, утвореного радіусами й хордою:
$S_{\text{сег. 1}}=S_{\text{сект. 1}}-S_{△AOB}$

• Площа сектора з центральним кутом ${\alpha }_1=60^{\circ }$:
  $S_{\text{сект. 1}}=\frac{\pi R^2}{360^{\circ }}\cdot 60^{\circ }=\frac{\pi R^2}{6}$

• Площа трикутника $△AOB$:
  $S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot R\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}{R}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$

Тоді площа першого сегмента:
$S_{\text{сег. 1}}=\frac{\pi R^2}{6}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$

3. Площа другого сегмента (що спирається на дугу $120^{\circ }$)

Аналогічно знайдемо площу сегмента з центральним кутом ${\alpha }_2=120^{\circ }$:
$S_{\text{сег. 2}}=S_{\text{сект. 2}}-S_{△COD}$

• Площа сектора:
  $S_{\text{сект. 2}}=\frac{\pi R^2}{360^{\circ }}\cdot 120^{\circ }=\frac{\pi R^2}{3}$

• Площа трикутника $△COD$ (враховуючи, що $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$):
  $S_{△COD}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot R\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}{R}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$

Тоді площа другого сегмента:
$S_{\text{сег. 2}}=\frac{\pi R^2}{3}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$

4. Обчислення площі частини круга між хордами

Знайдемо суму площ двох сегментів:
$S_{\text{сег. 1}}+S_{\text{сег. 2}}=\left(\frac{\pi R^2}{6}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}\right)+\left(\frac{\pi R^2}{3}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}\right)$

Додамо дроби:
$S_{\text{сег. 1}}+S_{\text{сег. 2}}=\left(\frac{\pi R^2}{6}+\frac{2\pi R^2}{6}\right)-\frac{2R^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\pi R^2}{6}-\frac{R^2\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi R^2}{2}-\frac{R^2\sqrt{3}}{2}$

Обчислимо шукану площу $S$:
$S=\pi R^2-\left(\frac{\pi R^2}{2}-\frac{R^2\sqrt{3}}{2}\right)=\pi R^2-\frac{\pi R^2}{2}+\frac{R^2\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi R^2}{2}+\frac{R^2\sqrt{3}}{2}=\frac{R^2(\pi +\sqrt{3})}{2}$

Відповідь:
$\frac{R^2(\pi +\sqrt{3})}{2}$