Завдання № 50. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $3\text{ см}$ і $4\text{ см}$, а його площа — $3\sqrt{3}{\text{ см}}^2$. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження кута між відомими сторонами

Нехай у трикутнику відомі сторони $a=3\text{ см}$, $b=4\text{ см}$, а кут між ними дорівнює $\gamma$.

Площу трикутника можна обчислити за формулою через дві сторони та синус кута між ними:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma$

Підставимо відомі числові дані:
$3\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin \gamma$
$3\sqrt{3}=6\cdot \sin \gamma$
$\sin \gamma =\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Оскільки кут трикутника задовольняє умову $0^{\circ }<\gamma <180^{\circ }$, рівняння $\sin \gamma =\frac{\sqrt{3}}{2}$ має два можливі значення:

• гострий кут: ${\gamma }_1=60^{\circ }$;
• тупий кут: ${\gamma }_2=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.

Отже, геометрична конфігурація можлива у двох варіантах, і задача має $2$ розв’язки.

2. Обчислення третьої сторони за теоремою косинусів

За теоремою косинусів квадрат невідомої сторони $c$ дорівнює:
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$

Розглянемо обидва випадки:

Випадок 1: якщо $\gamma =60^{\circ }$ ($\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$):
$c^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }$
$c^2=9+16-24\cdot \frac{1}{2}=25-12=13$
$c=\sqrt{13}\text{ см}$

Випадок 2: якщо $\gamma =120^{\circ }$ ($\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$):
$c^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos 120^{\circ }$
$c^2=9+16-24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=25+12=37$
$c=\sqrt{37}\text{ см}$

В обох випадках нерівність трикутника виконується, отже, обидва розв’язки є дійсними.

Відповідь:
$\sqrt{13}\text{ см}$ або $\sqrt{37}\text{ см}$; задача має $2$ розв’язки.