Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Відомо, що . Знайдіть кут між векторами:
1) і ;
2) і ;
3) і ;
4) і .
Покроковий розв’язок:
Для розв’язання задачі використаємо властивість множення вектора на число:
- Якщо число , то вектор є співнапрямленим з вектором ().
- Якщо число , то вектор є протилежно напрямленим до вектора ().
Нехай кут між ненульовими векторами та дорівнює . Тоді для кута між векторами та (, ) діють такі правила:
- Якщо коефіцієнти та мають однакові знаки (), напрямки векторів відносно один одного зберігаються, тому .
- Якщо коефіцієнти та мають різні знаки (), один із векторів змінює напрямок на протилежний, тому новий кут є суміжним до початкового: .
1. Кут між векторами і
Оскільки коефіцієнти та , то вектори та .
Напрямки обох векторів зберігаються, тому:
2. Кут між векторами і
Тут та . Вектор напрямлений протилежно до (), а вектор — співнапрямлений з ().
Отже, кут між цими векторами є суміжним до кута між і :
3. Кут між векторами і
Маємо та . Коефіцієнти мають різні знаки, отже, вектор , а вектор .
Кут між ними дорівнює:
4. Кут між векторами і
Коефіцієнти та мають однакові від’ємні знаки. Обидва вектори змінюють напрямок на протилежний: та .
Оскільки обидва напрямки розвернулися на , взаємний кут між ними залишається незмінним:
Відповідь:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .