Завдання № 50. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння кола, яке дотикається до координатних осей і проходить через точку $A(2;1)$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення положення центра кола та його радіуса
Оскільки точка $A(2;1)$ розташована в першій координатній чверті ($x>0$, $y>0$) і коло дотикається до обох координатних осей, саме коло та його центр також повністю лежать у першій чверті.

Відстань від центра кола до осі абсцис дорівнює радіусу $R$, і відстань до осі ординат також дорівнює радіусу $R$. Отже, координати центра кола мають вигляд:
$O(R;R)\text{, де }R>0$

Загальне рівняння кола з центром у точці $(x_0;y_0)$ та радіусом $R$ має вигляд:
$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$

Для шуканого кола рівняння набуває вигляду:
$(x-R{)}^2+(y-R{)}^2=R^2$

2. Знаходження значення радіуса $R$
Оскільки коло проходить через точку $A(2;1)$, її координати задовольняють рівняння кола. Підставимо $x=2$ та $y=1$:
$(2-R{)}^2+(1-R{)}^2=R^2$

Розкриємо дужки за формулою квадрата двочлена:
$(4-4\cdot R+R^2)+(1-2\cdot R+R^2)=R^2$

Зведемо подібні доданки:
$2\cdot R^2-6\cdot R+5=R^2$
$R^2-6\cdot R+5=0$

Розв’яжемо отримане квадратне рівняння за теоремою Вієта:

Звідси отримуємо два значення:
$R_1=1,R_2=5$

Обидва значення радіуса додатні, тому геометрично умові задачі відповідають два різних кола.

3. Складання рівнянь кіл

• Якщо $R=1$, то центр кола має координати $O_1(1;1)$. Рівняння кола:
  $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1^2⟹(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$

• Якщо $R=5$, то центр кола має координати $O_2(5;5)$. Рівняння кола:
  $(x-5{)}^2+(y-5{)}^2=5^2⟹(x-5{)}^2+(y-5{)}^2=25$

Відповідь:
$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$ або $(x-5{)}^2+(y-5{)}^2=25$