Завдання № 50. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Хорди кола $AB$ і $CD$ перетинаються в точці $Q$. Відомо, що $AQ:QB=1:2$, $CD=17\text{ см}$, $CQ=8\text{ см}$. Знайдіть довжину хорди $AB$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення довжин відрізків хорди $CD$

Точка $Q$ належить хорді $CD$, отже:
$QD=CD-CQ$

Підставимо відомі значення:
$QD=17-8=9\text{ см}$

2. Вираження відрізків хорди $AB$ через змінну

За умовою відношення відрізків становить $AQ:QB=1:2$.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$, де $x>0$. Тоді:
$AQ=x\text{ см},QB=2x\text{ см}$

Довжина всієї хорди $AB$ дорівнює сумі її відрізків:
$AB=AQ+QB=x+2x=3x$

3. Застосування теореми про відрізки хорд, що перетинаються

За властивістю хорд, що перетинаються, добутки відрізків однієї хорди дорівнюють добутку відрізків іншої:
$AQ\cdot QB=CQ\cdot QD$

Складемо рівняння та розв’яжемо його:
$x\cdot 2x=8\cdot 9$
$2x^2=72$
$x^2=\frac{72}{2}$
$x^2=36$

Оскільки довжина відрізка є додатною величиною ($x>0$):
$x=\sqrt{36}=6$

4. Обчислення довжини хорди $AB$

$AB=3\cdot x=3\cdot 6=18\text{ см}$

Відповідь:
$18\text{ см}$