Завдання № 5. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Нехай точки $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ і $C(x_3;y_3)$ лежать на одній прямій, причому $x_2\ne x_3$ і $y_2\ne y_3$. Доведіть, що

Покроковий розв’язок:

1. Координати векторів зі спільним початком
Розглянемо напрямлені відрізки (вектори) зі спільним початком у точці $C$: вектори $\overrightarrow{CA}$ та $\overrightarrow{CB}$.

Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат його кінця та початку:

2. Умова колінеарності векторів
За умовою точки $A$, $B$ і $C$ належать одній прямій. Отже, вектори $\overrightarrow{CA}$ та $\overrightarrow{CB}$ лежать на одній прямій, тобто є колінеарними.

Оскільки $x_2\ne x_3$ і $y_2\ne y_3$, координати вектора $\overrightarrow{CB}$ не дорівнюють нулю, тобто $\overrightarrow{CB}\ne \vec{0}$.

За ознакою колінеарності векторів, вектор $\overrightarrow{CA}$ колінеарний ненульовому вектору $\overrightarrow{CB}$ тоді й тільки тоді, коли існує таке дійсне число $k$, що:

3. Зв’язок між координатами
Записавши векторну рівність через координати, маємо систему:

Оскільки $x_2-x_3\ne 0$ та $y_2-y_3\ne 0$, виразимо коефіцієнт пропорційності $k$ з обох рівнянь:

Прирівнюючи праві частини виразів для $k$, отримуємо шукану рівність:

Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено.