Завдання № 5. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Чи правильне твердження: дві прямі у просторі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою? Поясніть на моделі.

Покроковий розв’язок:

1. Теоретичний аналіз твердження

Твердження про те, що дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою, є правильним лише на площині (в планіметрії).

У просторі (в стереометрії) дві прямі, які перпендикулярні до однієї й тієї самої третьої прямої, можуть бути:

паралельними;
перетинними;
мимобіжними.

Отже, дане твердження загалом є неправильним.

2. Обґрунтування на моделі куба

Модель куба з прямими

Розглянемо модель куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1}$ :

Нехай пряма $c$ містить бічне ребро $A A_{1}$ .
Пряма $a$ містить ребро нижньої основи $A B$ . Оскільки бічна грань $A A_{1} B_{1} B$ є квадратом, то $A B ⊥ A A_{1}$ , тобто $a ⊥ c$ .
Пряма $b$ містить ребро верхньої основи $B_{1} C_{1}$ . Оскільки $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , а $B_{1} C_{1} ⊥ B B_{1}$ , то пряма $B_{1} C_{1}$ також перпендикулярна до прямої $A A_{1}$ , тобто $b ⊥ c$ .

Прямі $a$ ( $A B$ ) та $b$ ( $B_{1} C_{1}$ ) лежать у паралельних площинах, але не є паралельними між собою — вони є мимобіжними прямими.

Крім того, ребра $A B$ і $A D$ куба також обидва перпендикулярні до ребра $A A_{1}$ , проте вони мають спільну точку $A$ і перетинаються під кутом $9 0^{\circ}$ .

Таким чином, перпендикулярність двох прямих до третьої у просторі не гарантує їхньої паралельності.

Відповідь: Твердження неправильне. Дві прямі у просторі, перпендикулярні до третьої, можуть бути не лише паралельними, а й перетинними або мимобіжними (наприклад, ребра $A B$ та $B_{1} C_{1}$ куба перпендикулярні до ребра $A A_{1}$ , але є мимобіжними).

Завдання № 5. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку