Завдання № 5. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи рівні між собою два квадрати, якщо:

1) рівні їхні периметри;

2) рівні їхні площі;

3) діагональ одного з них дорівнює діагоналі другого;

4) діагональ одного з них дорівнює стороні другого?

Покроковий розв’язок:

За означенням, два квадрати є рівними тоді й лише тоді, коли рівні їхні сторони (оскільки всі кути квадратів прямі й дорівнюють $90^{\circ }$, а рівність сторін забезпечує повне суміщення фігур при накладанні).

Нехай сторона першого квадрата дорівнює $a_1$, а сторона другого квадрата — $a_2$ ($a_1>0$, $a_2>0$).

1. Рівність периметрів
Периметр квадрата обчислюється за формулою:
$P=4\cdot a$
Якщо периметри квадратів рівні ($P_1=P_2$), то:
$4\cdot a_1=4\cdot a_2⟹a_1=a_2$
Оскільки сторони квадратів рівні, то й самі квадрати рівні.

2. Рівність площ
Площа квадрата обчислюється за формулою:
$S=a^2$
Якщо площі квадратів рівні ($S_1=S_2$), то:
$a_1^2=a_2^2$
Враховуючи, що довжина сторони є додатною величиною ($a_1>0$, $a_2>0$), отримуємо:
$a_1=a_2$
Отже, квадрати рівні між собою.

3. Рівність діагоналей
За теоремою Піфагора діагональ квадрата зі стороною $a$ дорівнює:
$d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2\cdot a^2}=a\sqrt{2}$
Якщо діагоналі квадратів рівні ($d_1=d_2$), то:
$a_1\sqrt{2}=a_2\sqrt{2}⟹a_1=a_2$
Оскільки сторони рівні, квадрати є рівними.

4. Діагональ одного квадрата дорівнює стороні другого
Нехай діагональ першого квадрата $d_1=a_1\sqrt{2}$ дорівнює стороні другого квадрата $a_2$:
$a_2=a_1\sqrt{2}$
Звідси відношення сторін дорівнює:
$\frac{a_2}{a_1}=\sqrt{2}\ne 1$
Оскільки $a_1\ne a_2$, сторони квадратів мають різну довжину, тому ці квадрати не є рівними.

Відповідь:

1) Так, рівні;

2) Так, рівні;

3) Так, рівні;

4) Ні, нерівні.