Завдання № 5. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює $8\sqrt{2}\text{ см}$. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей квадрат.

Покроковий розв’язок:
Нехай сторона даного квадрата дорівнює $a$, радіус описаного кола — $R$, а радіус вписаного кола — $r$.

1. Зв’язок сторони квадрата з радіусом описаного кола
Діагональ квадрата $d$ є діаметром описаного навколо нього кола:
$d=2\cdot R$

За теоремою Піфагора діагональ квадрата зі стороною $a$ дорівнює:
$d=a\sqrt{2}$

Звідси отримуємо зв’язок між радіусом описаного кола та стороною квадрата:
$2\cdot R=a\sqrt{2}⟹a=\frac{2\cdot R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2}$

Підставимо відоме значення радіуса описаного кола $R=8\sqrt{2}\text{ см}$:
$a=8\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=8\cdot 2=16\text{ см}$

2. Обчислення радіуса вписаного кола
Коло, вписане в квадрат, дотикається до всіх його сторін, а діаметр цього кола дорівнює стороні квадрата ($2\cdot r=a$). Отже, радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата:
$r=\frac{a}{2}$

Підставимо знайдену довжину сторони:
$r=\frac{16}{2}=8\text{ см}$

Відповідь:
$8\text{ см}$