Завдання № 5.44. § 5. Рівняння прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
(Київська міська математична олімпіада, 1990 р.) Бісектриси $A{A}_1$ і $B{B}_1$ трикутника $ABC$ перетинаються в точці $O$. Доведіть, що коли кут $C$ дорівнює $60^{\circ }$, то $O{A}_1=O{B}_1$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження кута між бісектрисами
Сума кутів трикутника $ABC$ дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$

Оскільки за умовою $\angle C=60^{\circ }$, маємо:
$\angle A+\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

Оскільки відрізки $A{A}_1$ і $B{B}_1$ є бісектрисами кутів $A$ і $B$ відповідно, то:
$\angle OAB=\frac{1}{2}\angle A,\angle OBA=\frac{1}{2}\angle B$

Розглянемо трикутник $AOB$. За теоремою про суму кутів трикутника:

2. Доведення вписаності чотирикутника $C{A}_{1}O{B}_1$
Кути $\angle A_{1}O{B}_1$ та $\angle AOB$ є вертикальними, отже:
$\angle A_{1}O{B}_1=\angle AOB=120^{\circ }$

Знайдемо суму протилежних кутів чотирикутника $C{A}_{1}O{B}_1$:
$\angle C+\angle A_{1}O{B}_1=60^{\circ }+120^{\circ }=180^{\circ }$

Оскільки сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $180^{\circ }$, навколо чотирикутника $C{A}_{1}O{B}_1$ можна описати коло.

3. Доведення рівності відрізків $O{A}_1$ і $O{B}_1$
Точка $O$ є точкою перетину бісектрис трикутника $ABC$, отже, промінь $CO$ є бісектрисою кута $C$. Звідси:
$\angle A_{1}CO=\angle B_{1}CO=\frac{\angle C}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$

В описаному навколо чотирикутника $C{A}_{1}O{B}_1$ колі кути $\angle A_{1}CO$ і $\angle B_{1}CO$ є вписаними кутами, які спираються відповідно на хорди $O{A}_1$ і $O{B}_1$.

Оскільки рівні вписані кути одного кола спираються на рівні хорди, отримуємо:
$O{A}_1=O{B}_1$

Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено.