Завдання № 5.43. § 5. Рівняння прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Жінка-агроном, не вимірюючи кутів чотирикутної земельної ділянки, може з’ясувати, що вона квадратна. Поясніть, як вона це робить, якщо користується досить довгою мотузкою.

Покроковий розв’язок:

Для того щоб переконатися, що чотирикутна ділянка $ABCD$ має форму квадрата, достатньо використати властивості та ознаки геометричних фігур, вимірюючи тільки відстані за допомогою мотузки:

1. Перевірка рівності сторін чотирикутника
Агроном послідовно відміряє мотузкою довжини всіх чотирьох сторін ділянки: $AB$, $BC$, $CD$ та $DA$.

• Якщо всі чотири сторони рівні між собою ($AB=BC=CD=DA$), то за означенням чотирикутник $ABCD$ є ромбом (оскільки протилежні сторони попарно рівні, він є паралелограмом із рівними суміжними сторонами).

2. Перевірка рівності діагоналей
Далі за допомогою мотузки вимірюються відстані між протилежними вершинами ділянки — довжини діагоналей $AC$ та $BD$.

• Якщо довжини діагоналей однакові ($AC=BD$), то за ознакою ромб із рівними діагоналями є квадратом (оскільки паралелограм з рівними діагоналями є прямокутником, а прямокутник з рівними сторонами є квадратом).

Таким чином, для перевірки форми ділянки достатньо зробити $6$ вимірювань мотузкою: якщо чотири сторони рівні між собою і дві діагоналі також рівні між собою, ділянка гарантовано є квадратною.

Відповідь:
За допомогою мотузки виміряти довжини чотирьох сторін та двох діагоналей ділянки. Якщо всі чотири сторони рівні між собою ($AB=BC=CD=DA$) і обидві діагоналі рівні між собою ($AC=BD$), то ділянка є квадратом.