Завдання № 5.41. § 5. Рівняння прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння кола радіуса $13$, що проходить через точку $A(-7;5)$, якщо його центр належить осі абсцис.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат центра кола
Нехай точка $O(x_0;y_0)$ — центр шуканого кола.
Оскільки за умовою центр кола належить осі абсцис ($Ox$), його ордината дорівнює нулю: $y_0=0$.
Отже, центр кола має координати $O(x_0;0)$.

2. Застосування формули відстані між двома точками
Точка $A(-7;5)$ лежить на колі, тому відстань від центра $O$ до точки $A$ дорівнює радіусу кола $R=13$:
$OA=R=13$

За формулою відстані між двома точками:
$O{A}^2=(x_A-x_0{)}^2+(y_A-y_0{)}^2$

Підставимо відомі значення координат точки $A(-7;5)$, центра $O(x_0;0)$ та радіуса $R=13$:
$(-7-x_0{)}^2+(5-0{)}^2=13^2$

3. Розв’язання квадратного рівняння
Спростимо отримане рівняння:
$(x_0+7{)}^2+5^2=169$
$x_0^2+14\cdot x_0+49+25=169$
$x_0^2+14\cdot x_0+74-169=0$
$x_0^2+14\cdot x_0-95=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння за допомогою дискримінанта:
$D=14^2-4\cdot 1\cdot (-95)=196+380=576=24^2$

$x_0=\frac{-14\pm 24}{2}$
$x_0^{(1)}=\frac{-14+24}{2}=\frac{10}{2}=5$
$x_0^{(2)}=\frac{-14-24}{2}=\frac{-38}{2}=-19$

Таким чином, умові задачі задовольняють два центри кола: $O_1(5;0)$ та $O_2(-19;0)$.

4. Складання рівнянь кіл
Загальне рівняння кола з центром у точці $(x_0;y_0)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$

Оскільки $R=13$, то $R^2=13^2=169$.

Для центра $O_1(5;0)$:
$(x-5{)}^2+(y-0{)}^2=169⟹(x-5{)}^2+y^2=169$

Для центра $O_2(-19;0)$:
$(x-(-19){)}^2+(y-0{)}^2=169⟹(x+19{)}^2+y^2=169$

Відповідь:
$(x-5{)}^2+y^2=169$ або $(x+19{)}^2+y^2=169$