Завдання № 5.40. § 5. Рівняння прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи є чотирикутник з вершинами в точках $A(-3;4)$, $B(5;2)$, $C(7;-4)$, $D(-1;-2)$ паралелограмом?

Покроковий розв’язок:

За ознакою паралелограма, якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник є паралелограмом.

Перевіримо, чи збігаються середини діагоналей $AC$ і $BD$.

1. Знаходження координат середини діагоналі $AC$

Нехай точка $O_1(x_1;y_1)$ — середина діагоналі $AC$.
За формулами координат середини відрізка з кінцями у точках $A(x_A;y_A)$ та $C(x_C;y_C)$:
$x_1=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2$
$y_1=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{4+(-4)}{2}=\frac{0}{2}=0$

Отже, середина діагоналі $AC$ — точка $O_1(2;0)$.

2. Знаходження координат середини діагоналі $BD$

Нехай точка $O_2(x_2;y_2)$ — середина діагоналі $BD$.
За формулами координат середини відрізка для точок $B(x_B;y_B)$ та $D(x_D;y_D)$:
$x_2=\frac{x_B+x_D}{2}=\frac{5+(-1)}{2}=\frac{4}{2}=2$
$y_2=\frac{y_B+y_D}{2}=\frac{2+(-2)}{2}=\frac{0}{2}=0$

Отже, середина діагоналі $BD$ — точка $O_2(2;0)$.

3. Висновок

Точки $O_1$ і $O_2$ мають однакові координати, тобто вони збігаються в єдиній точці $O(2;0)$. Це означає, що діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$ і діляться нею навпіл.

За ознакою паралелограма чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом.

Відповідь:
Так, чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом.