Завдання № 5.36. § 5. Рівняння прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що прямі $y=k_{1}x+l_1$ і $y=k_{2}x+l_2$ взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли $k_1{k}_2=-1$ (умова перпендикулярності прямих).

Покроковий розв’язок:

Геометричний зміст кутового коефіцієнта прямої полягає в тому, що він дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до додатного напрямку осі абсцис:
$k=\mathrm{tg}\alpha$
де $\alpha \in [0^{\circ };180^{\circ })$, причому $\alpha \ne 90^{\circ }$ (оскільки рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом не описує вертикальні прямі, для яких тангенс не існує).

Оскільки прямі не є паралельними осям координат ($k_1\ne 0$ і $k_2\ne 0$), для доведення твердження «тоді і тільки тоді» необхідно довести пряме та обернене твердження.

1. Доведення необхідності (якщо прямі перпендикулярні, то $k_1{k}_2=-1$):

Нехай перша пряма $y=k_{1}x+l_1$ утворює з додатним напрямком осі $Ox$ гострий кут $\alpha$ ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$).
Тоді її кутовий коефіцієнт дорівнює:
$k_1=\mathrm{tg}\alpha$

Оскільки друга пряма $y=k_{2}x+l_2$ перпендикулярна до першої, кут між ними дорівнює $90^{\circ }$. Отже, кут нахилу другої прямої до додатного напрямку осі $Ox$ становить:
$\beta =90^{\circ }+\alpha$

Кутовий коефіцієнт другої прямої:
$k_2=\mathrm{tg}(90^{\circ }+\alpha )$

Використовуючи формули зведення тригонометричних функцій:
$\mathrm{tg}(90^{\circ }+\alpha )=\frac{\sin (90^{\circ }+\alpha )}{\cos (90^{\circ }+\alpha )}=\frac{\cos \alpha }{-\sin \alpha }=-\mathrm{ctg}\alpha =-\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$

Знайдемо добуток кутових коефіцієнтів:
$k_1\cdot k_2=\mathrm{tg}\alpha \cdot \left(-\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }\right)=-1$
Необхідність доведено.

2. Доведення достатності (якщо $k_1{k}_2=-1$, то прямі перпендикулярні):

Нехай добуток кутових коефіцієнтів прямих дорівнює $-1$:
$k_1\cdot k_2=-1⟹k_2=-\frac{1}{k_1}$

Нехай кут нахилу першої прямої дорівнює $\alpha$. Тоді $k_1=\mathrm{tg}\alpha$, і підставивши його у вираз для $k_2$, отримуємо:
$k_2=-\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }=-\mathrm{ctg}\alpha =\mathrm{tg}(90^{\circ }+\alpha )$

Оскільки для кута нахилу другої прямої $\beta \in [0^{\circ };180^{\circ })$ рівність $\mathrm{tg}\beta =\mathrm{tg}(90^{\circ }+\alpha )$ виконується лише тоді, коли:
$\beta =90^{\circ }+\alpha$

Звідси різниця кутів нахилу двох прямих дорівнює:
$\beta -\alpha =90^{\circ }$

Це означає, що кут між прямими дорівнює $90^{\circ }$, тобто прямі взаємно перпендикулярні. Достатність доведено.

Відповідь:
Твердження доведено: прямі $y=k_{1}x+l_1$ і $y=k_{2}x+l_2$ взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли $k_1{k}_2=-1$.