Завдання № 5.29. § 5. Рівняння прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $B(2;5)$ і утворює з додатним напрямком осі абсцис кут:

1) $45^{\circ }$;

2) $120^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд:
$y=kx+b$

Кутовий коефіцієнт прямої $k$ дорівнює тангенсу кута $\alpha$, який утворює ця пряма з додатним напрямком осі абсцис:
$k=\mathrm{tg}\alpha$

Якщо пряма проходить через задану точку $B(x_0;y_0)$ і має кутовий коефіцієнт $k$, її рівняння зручно шукати у вигляді:
$y-y_0=k\cdot (x-x_0)$

За умовою задачі координатами точки є $x_0=2$, $y_0=5$.

1. Кут нахилу прямої дорівнює $45^{\circ }$

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої:
$k=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$

Підставимо значення коефіцієнта $k=1$ та координати точки $B(2;5)$ у формулу рівняння прямої:
$y-5=1\cdot (x-2)$
$y-5=x-2$
$y=x-2+5$
$y=x+3$

Запишемо отримане рівняння у загальному вигляді $Ax+By+C=0$:
$x-y+3=0$

2. Кут нахилу прямої дорівнює $120^{\circ }$

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої, скориставшись формулою зведення $\mathrm{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$:
$k=\mathrm{tg}120^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }-60^{\circ })=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$

Підставимо кутовий коефіцієнт $k=-\sqrt{3}$ та координати точки $B(2;5)$ у формулу:
$y-5=-\sqrt{3}\cdot (x-2)$
$y-5=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$
$y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}+5$

Запишемо отримане рівняння у загальному вигляді $Ax+By+C=0$:
$\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}-5=0$

Відповідь:

1) $x-y+3=0$ (або $y=x+3$);

2) $\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}-5=0$ (або $y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}+5$).