Завдання № 5.23. § 5. Рівняння прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння прямої, яка містить медіану $CN$ трикутника $ABC$, якщо $A(2;-3)$, $B(8;-7)$, $C(4;0)$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження координат точки $N$
За означенням, медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Отже, точка $N$ є серединою сторони $AB$.

Координати середини відрізка обчислюються за формулами:
$x_N=\frac{x_A+x_B}{2},y_N=\frac{y_A+y_B}{2}$

Підставимо координати точок $A(2;-3)$ та $B(8;-7)$:
$x_N=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$
$y_N=\frac{-3+(-7)}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

Таким чином, середина сторони $AB$ має координати $N(5;-5)$.

2. Складання рівняння прямої $CN$
Пряма, що містить медіану $CN$, проходить через точки $C(4;0)$ та $N(5;-5)$.

Скористаємося канонічним рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки $(x_1;y_1)$ та $(x_2;y_2)$:
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

Підставимо координати точок $C(4;0)$ та $N(5;-5)$:
$\frac{x-4}{5-4}=\frac{y-0}{-5-0}$
$\frac{x-4}{1}=\frac{y}{-5}$

Застосуємо основну властивість пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх):
$-5\cdot (x-4)=1\cdot y$
$-5x+20=y$
$y=-5x+20$

Запишемо отримане рівняння в загальному вигляді:
$5x+y-20=0\text{або}5x+y=20$

Відповідь: $5x+y=20$ (або $y=-5x+20$).