Завдання № 5.2. § 5. Рівняння прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Яке з наведених рівнянь є рівнянням прямої:

1) $2x-3y=0$;

2) $4x^2-9y^2=5$;

3) $2x-y^4-15=0$;

4) $3x+7y-10=0$;

5) $3y-12=0$;

6) $2x^2-y=0$?

Покроковий розв’язок:
За означенням, рівнянням прямої на декартовій площині є загальне лінійне рівняння першого степеня вигляду:
$ax+by+c=0$
де $a$, $b$ і $c$ — деякі дійсні числа, причому коефіцієнти $a$ та $b$ не дорівнюють нулю одночасно ($a^2+b^2\ne 0$).

Це означає, що змінні $x$ та $y$ можуть входити в рівняння тільки в першому степені (без добутків змінних між собою та без піднесення до вищих степенів).

Проаналізуємо кожне рівняння окремо:

1) $2x-3y=0$
Це рівняння має вигляд $ax+by+c=0$, де $a=2$, $b=-3$, $c=0$. Обидві змінні входять у першому степені, коефіцієнти при змінних не дорівнюють нулю одночасно.
Отже, це рівняння є рівнянням прямої (вона проходить через початок координат).

2) $4x^2-9y^2=5$
Змінні $x$ та $y$ входять у рівняння в другому степені ($x^2$ та $y^2$).
Це рівняння другого степеня, тому воно не є рівнянням прямої (воно задає гіперболу).

3) $2x-y^4-15=0$
Змінна $y$ входить у рівняння в четвертому степені ($y^4$).
Степінь рівняння дорівнює $4$, тому воно не є рівнянням прямої.

4) $3x+7y-10=0$
Це рівняння загального вигляду $ax+by+c=0$, де $a=3$, $b=7$, $c=-10$. Змінні $x$ та $y$ знаходяться в першому степені.
Отже, це рівняння є рівнянням прямої.

5) $3y-12=0$
Це рівняння можна записати у вигляді $0\cdot x+3y-12=0$, де $a=0$, $b=3$, $c=-12$. Тут $b\ne 0$, а змінна $y$ входить у першому степені.
Спростивши, отримуємо $y=4$ — це рівняння прямої, яка паралельна осі абсцис ($Ox$).
Отже, це рівняння є рівнянням прямої.

6) $2x^2-y=0$
Змінна $x$ входить у рівняння в другому степені ($x^2$).
Це рівняння другого степеня (вигляду $y=2x^2$), тому воно задає параболу і не є рівнянням прямої.

Відповідь:
1), 4), 5).