Завдання № 5.16. § 5. Рівняння прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої $MN$, якщо:

1) $M(-1;2)$, $N(0;9)$;

2) $M(1;4)$, $N(-1;6)$.

Покроковий розв’язок:

Кутовий коефіцієнт $k$ прямої, яка проходить через дві точки $M(x_1;y_1)$ та $N(x_2;y_2)$ при $x_1\ne x_2$, дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до додатного напрямку осі абсцис і обчислюється за формулою:
$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

1) Для точок $M(-1;2)$ та $N(0;9)$:

Підставимо координати точок $M(x_1;y_1)=(-1;2)$ та $N(x_2;y_2)=(0;9)$ у формулу:
$k=\frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}=\frac{9-2}{0-(-1)}=\frac{7}{1}=7$

Геометричне пояснення: розглянемо прямокутний трикутник $△MKN$ із прямим кутом при вершині $K(0;2)$. Довжини його катетів дорівнюють $MK=0-(-1)=1$ та $NK=9-2=7$. Оскільки пряма утворює гострий кут $\alpha$ з додатним напрямком осі $Ox$, то:
$k=\mathrm{tg}\alpha =\frac{NK}{MK}=\frac{7}{1}=7$

2) Для точок $M(1;4)$ та $N(-1;6)$:

Підставимо координати точок $M(x_1;y_1)=(1;4)$ та $N(x_2;y_2)=(-1;6)$ у формулу:
$k=\frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}=\frac{6-4}{-1-1}=\frac{2}{-2}=-1$

Геометричне пояснення: пряма утворює тупий кут $\alpha$ з додатним напрямком осі $Ox$. З прямокутного трикутника $△MKN$ із прямим кутом при вершині $K(-1;4)$ гострий кут дорівнює $\gamma =180^{\circ }-\alpha$. Катети трикутника: $NK=6-4=2$, $KM=1-(-1)=2$. Тоді:
$\mathrm{tg}\gamma =\frac{NK}{KM}=\frac{2}{2}=1$
Оскільки $\alpha =180^{\circ }-\gamma$, то:
$k=\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}(180^{\circ }-\gamma )=-\mathrm{tg}\gamma =-1$

Відповідь:

1) $k=7$;

2) $k=-1$.