Завдання № 49. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Побудуйте круг, площа якого дорівнює площі кільця між двома даними концентричними колами.

Покроковий розв’язок:

1. Математичне обґрунтування (аналіз задачі)

Нехай дані два концентричні кола зі спільним центром $O$, радіуси яких дорівнюють $r_1$ та $r_2$ (де $r_2>r_1$).

Площа кільця, обмеженого цими колами, дорівнює різниці площ більшого та меншого кругів:
$S_{\text{кільця}}=\pi \cdot r_2^2-\pi \cdot r_1^2=\pi \cdot (r_2^2-r_1^2)$

За умовою шуканий круг радіуса $R$ має таку саму площу:
$S_{\text{круга}}=\pi \cdot R^2$

Прирівняємо площі:
$\pi \cdot R^2=\pi \cdot (r_2^2-r_1^2)$

Поділивши обидві частини рівності на $\pi$, отримуємо:
$R^2=r_2^2-r_1^2⟹R=\sqrt{r_2^2-r_1^2}$

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника з гіпотенузою $c$ і катетами $a$ та $b$ виконується рівність:
$a=\sqrt{c^2-b^2}$

Отже, радіус шуканого круга $R$ дорівнює катету прямокутного трикутника, у якого гіпотенуза дорівнює радіусу більшого кола $r_2$, а другий катет — радіусу меншого кола $r_1$.

2. План побудови

1) За допомогою циркуля вимірюємо радіуси даних концентричних кіл: $r_1$ та $r_2$.

2) Будуємо прямий кут із вершиною в точці $C$.

3) На одному з променів прямого кута відкладаємо відрізок $CB$, довжина якого дорівнює меншому радіусу: $CB=r_1$.

4) Із центра $B$ проводимо дугу кола радіусом $r_2$ до перетину з другим променем прямого кута. Отримуємо точку перетину $A$.

5) Отриманий катет $AC$ є шуканим радіусом $R$:
$AC=\sqrt{A{B}^2-C{B}^2}=\sqrt{r_2^2-r_1^2}=R$

6) Обираємо довільну точку на площині як центр і проводимо коло радіусом $R=AC$. Побудований круг є шуканим.

Відповідь: шуканим є круг радіуса $R=\sqrt{r_2^2-r_1^2}$, де $R$ — катет прямокутного трикутника з катетом $r_1$ та гіпотенузою $r_2$.