Завдання № 49. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Площа повної поверхні конуса дорівнює $588\pi {\text{ см}}^2$. Знайдіть об’єм конуса, якщо його твірна дорівнює $37\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження радіуса основи конуса

Площа повної поверхні конуса обчислюється за формулою:
$S_{\text{повн}}=\pi R(R+l)$

де $R$ — радіус основи конуса, $l$ — довжина його твірної.

Підставимо відомі значення $S_{\text{повн}}=588\pi {\text{ см}}^2$ та $l=37\text{ см}$:
$588\pi =\pi R(R+37)$

Поділимо обидві частини рівняння на $\pi$:
$588=R^2+37R$
$R^2+37R-588=0$

Розв’яжемо отримане квадратне рівняння:
$D=37^2-4\cdot 1\cdot (-588)=1369+2352=3721=61^2$

Знаходимо корені:
$R_1=\frac{-37+61}{2\cdot 1}=\frac{24}{2}=12$
$R_2=\frac{-37-61}{2\cdot 1}=\frac{-98}{2}=-49$

Оскільки радіус не може бути від’ємним числом ($R>0$), корінь $R_2=-49$ є стороннім.
Отже, радіус основи конуса дорівнює $R=12\text{ см}$.

2. Знаходження висоти конуса

Осьовий переріз конуса є рівнобедреним трикутником, а висота $h$, радіус основи $R$ та твірна $l$ утворюють прямокутний трикутник, у якому твірна виступає гіпотенузою.

За теоремою Піфагора:
$h=\sqrt{l^2-R^2}$

Підставимо значення $l=37\text{ см}$ і $R=12\text{ см}$:

3. Обчислення об’єму конуса

Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$

Підставимо знайдені значення радіуса та висоти:

Відповідь:
$1680\pi {\text{ см}}^3$.