Завдання № 49. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Одна зі сторін трикутника вдвічі більша за іншу, а кут між цими сторонами дорівнює $60^{\circ }$. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо його площа дорівнює $8\sqrt{3}{\text{ см}}^2$.

Покроковий розв’язок:

1. Вираження сторін і застосування формули площі трикутника

Нехай менша сторона трикутника дорівнює $x\text{ см}$ ($x>0$), тоді за умовою задачі друга сторона дорівнює $2x\text{ см}$. Кут між ними становить $60^{\circ }$.

Площу трикутника за двома сторонами та кутом між ними обчислюють за формулою:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$

Підставимо відомі значення у формулу:
$S=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 2x\cdot \sin 60^{\circ }=x^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Знаходження невідомого значення $x$

За умовою площа трикутника дорівнює $8\sqrt{3}{\text{ см}}^2$. Складемо рівняння:
$x^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$

Поділимо обидві частини рівняння на $\sqrt{3}$:
$\frac{x^2}{2}=8$

Помножимо обидві частини на $2$:
$x^2=16$

Оскільки довжина сторони має бути додатною величиною ($x>0$):
$x=4$

Таким чином, сторони трикутника дорівнюють:

• перша сторона: $x=4\text{ см}$;
• друга сторона: $2x=2\cdot 4=8\text{ см}$.

3. Знаходження третьої сторони за теоремою косинусів

Позначимо третю сторону через $c$. За теоремою косинусів:
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha$

Підставимо отримані значення:

Звідси знайдемо довжину третьої сторони:
$c=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\text{ см}$

Відповідь:
$4\sqrt{3}\text{ см}$