Завдання № 49. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть кути трикутника з вершинами в точках $A(-1;2)$, $B(-1;5)$ і $C(3;2)$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат векторів сторін трикутника

Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{AC}$, що виходять із вершини $A$:

2. Знаходження кута $A$

Обчислимо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{AC}$:

Оскільки скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, вектори взаємно перпендикулярні:

Отже, $△ABC$ — прямокутний із прямим кутом при вершині $A$.

3. Знаходження довжин сторін прямокутного трикутника

Обчислимо довжини катетів $AB$ і $AC$:

За теоремою Піфагора знайдемо довжину гіпотенузи $BC$:

4. Обчислення гострих кутів $B$ і $C$

За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника:

За таблицями значень тригонометричних функцій або за допомогою арккосинуса:

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$:

Відповідь:
$\angle A=90^{\circ }$, $\angle B\approx 53^{\circ }$, $\angle C\approx 37^{\circ }$ (точні значення: $\angle A=90^{\circ }$, $\angle B=\arccos 0,6$, $\angle C=\arcsin 0,6$).