Завдання № 49. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть координати центра кола, радіус якого дорівнює $3$ і яке дотикається до осей координат. Скільки розв’язків має задача?

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична властивість дотику кола до осей координат
Нехай центр шуканого кола має координати $O(x_0;y_0)$, а його радіус дорівнює $R=3$.

За геометричною властивістю дотичної до кола, радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної. Оскільки осями координат є прямі $x=0$ (вісь ординат) та $y=0$ (вісь абсцис), то відстані від центра кола до кожної з осей координат дорівнюють радіусу цього кола:

• відстань до осі ординат: $|x_0|=R=3$;
• відстань до осі абсцис: $|y_0|=R=3$.

2. Визначення координат центра
З отриманих рівнянь маємо:
$x_0=\pm 3,y_0=\pm 3$

Коло може знаходитися в будь-якій із чотирьох координатних чвертей:

• I чверть ($x>0$, $y>0$): центр $O_1(3;3)$;
• II чверть ($x<0$, $y>0$): центр $O_3(-3;3)$;
• III чверть ($x<0$, $y<0$): центр $O_4(-3;-3)$;
• IV чверть ($x>0$, $y<0$): центр $O_2(3;-3)$.

Для кожного випадку рівняння кола $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ набуває вигляду:

1) для центра $O_1(3;3)$: $(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=9$;

2) для центра $O_2(3;-3)$: $(x-3{)}^2+(y+3{)}^2=9$;

3) для центра $O_3(-3;3)$: $(x+3{)}^2+(y-3{)}^2=9$;

4) для центра $O_4(-3;-3)$: $(x+3{)}^2+(y+3{)}^2=9$.

Таким чином, задача має $4$ розв’язки.

Відповідь: $(3;3)$, $(3;-3)$, $(-3;3)$, $(-3;-3)$; задача має $4$ розв’язки.