Завдання № 48. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано прямокутний трикутник із гіпотенузою $2$ і гострим кутом $60^{\circ }$. Знайдіть площу спільної частини двох кругів, які проходять через вершину прямого кута і мають центри у вершинах гострих кутів цього трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження сторін і кутів прямокутного трикутника

Нехай у прямокутному трикутнику $△ABC$ кут $\angle C=90^{\circ }$, гіпотенуза $AB=2$, а гострий кут $\angle B=60^{\circ }$.

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, маємо:
$\angle A=90^{\circ }-\angle B=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

За означенням тригонометричних функцій у прямокутному трикутнику знайдемо катети:
$BC=AB\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}=1$
$AC=AB\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

2. Аналіз перетину двох кругів

Круг із центром у точці $A$ проходить через точку $C$, тому його радіус дорівнює катету $R_1=AC=\sqrt{3}$.
Круг із центром у точці $B$ також проходить через точку $C$, отже, його радіус дорівнює катету $R_2=BC=1$.

Нехай $K$ — друга точка перетину кіл. Тоді лінія центрів $AB$ є серединним перпендикуляром до спільної хорди $CK$. Звідси трикутники $△ACK$ та $△BCK$ є рівнобедреними ($AC=AK=\sqrt{3}$, $BC=BK=1$), а відрізок $AB$ ділить спільну хорду $CK$ навпіл і служить бісектрисою відповідних центральних кутів:
$\angle CAK=2\cdot \angle CAB=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }$
$\angle CBK=2\cdot \angle CBA=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$

Спільна частина кругів утворена двома круговими сегментами, які спираються на спільну хорду $CK$:

• круговим сегментом круга із центром $A$ ($S_1$);
• круговим сегментом круга із центром $B$ ($S_2$).

3. Обчислення площ сегментів

Площа кругового сегмента обчислюється як різниця площі відповідного кругового сектора та площі рівнобедреного трикутника, утвореного радіусами:

1) Для першого сегмента (у крузі з центром $A$, радіусом $R_1=\sqrt{3}$ та центральним кутом $\alpha =60^{\circ }$):
$S_{{\text{сект}}_1}=\frac{\pi \cdot R_1^2\cdot 60^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{\pi \cdot (\sqrt{3}{)}^2}{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$
$S_{△ACK}=\frac{1}{2}\cdot R_1^2\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{3}{)}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$
$S_1=S_{{\text{сект}}_1}-S_{△ACK}=\frac{\pi }{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}$

2) Для другого сегмента (у крузі з центром $B$, радіусом $R_2=1$ та центральним кутом $\beta =120^{\circ }$):
$S_{{\text{сект}}_2}=\frac{\pi \cdot R_2^2\cdot 120^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{\pi \cdot 1^2}{3}=\frac{\pi }{3}$
$S_{△BCK}=\frac{1}{2}\cdot R_2^2\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
$S_2=S_{{\text{сект}}_2}-S_{△BCK}=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$

4. Обчислення загальної площі спільної частини

Додамо площі двох сегментів:
$S=S_1+S_2=\left(\frac{\pi }{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)+\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
$S=\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)-\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{5\pi }{6}-\frac{4\sqrt{3}}{4}=\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$

Відповідь:
$\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$