Завдання № 48. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Фігура $F^{\prime }$ подібна фігурі $F$ з коефіцієнтом $\frac{2}{3}$, а фігура $F^{\prime \prime }$ подібна фігурі $F^{\prime }$ з коефіцієнтом $\frac{3}{4}$. З яким коефіцієнтом фігура $F^{\prime \prime }$ подібна фігурі $F$?

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між лінійними розмірами подібних фігур

За означенням подібності фігур, відношення відповідних лінійних розмірів фігури $F^{\prime }$ до фігури $F$ дорівнює коефіцієнту подібності $k_1=\frac{2}{3}$.

Тобто для будь-яких двох точок $A$ і $B$ фігури $F$ та відповідних точок $A^{\prime }$ і $B^{\prime }$ фігури $F^{\prime }$ виконується рівність:
$A^{\prime }{B}^{\prime }=k_1\cdot AB=\frac{2}{3}\cdot AB$

Аналогічно, оскільки фігура $F^{\prime \prime }$ подібна фігурі $F^{\prime }$ з коефіцієнтом $k_2=\frac{3}{4}$, для відповідних точок $A^{\prime \prime }$ і $B^{\prime \prime }$ фігури $F^{\prime \prime }$ маємо:
$A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }=k_2\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{3}{4}\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }$

2. Обчислення шуканого коефіцієнта подібності

Підставимо вираз для довжини відрізка $A^{\prime }{B}^{\prime }$ у формулу для відрізка $A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }$:
$A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }=\frac{3}{4}\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot AB\right)=\left(\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\right)\cdot AB$

Отже, фігура $F^{\prime \prime }$ подібна фігурі $F$ з коефіцієнтом $k$, який дорівнює добутку коефіцієнтів $k_1$ і $k_2$:
$k=k_2\cdot k_1=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 3}=\frac{1}{2}$

Відповідь:
$\frac{1}{2}$