Завдання № 48. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Навколо круга радіуса $r$ розташовано чотири однакові круги, кожен з яких дотикається до даного круга, і кожні два сусідніх круги дотикаються між собою (мал. 2). Знайдіть площу одного із цих кругів.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричні властивості конфігурації кіл

Позначимо радіус чотирьох однакових кругів через $R$, а радіус внутрішнього круга — через $r$. Центр внутрішнього круга позначимо як точку $O$, а центри чотирьох однакових зовнішніх кругів — точками $A$, $B$, $C$ і $D$.

Оскільки зовнішні круги попарно дотикаються між собою:

• Лінія центрів двох кругів, що дотикаються зовнішнім чином, проходить через точку їхнього дотику, а відстань між їхніми центрами дорівнює сумі радіусів:
  $BC=CD=DA=AB=R+R=2R$
• Чотирикутник $ABCD$ має рівні сторони й симетричний відносно центра $O$, отже, $ABCD$ є квадратом зі стороною $2R$.

2. Зв’язок між радіусами $R$ і $r$

Внутрішній круг дотикається до кожного із чотирьох зовнішніх кругів. Відповідно, відстань від центра $O$ до центра будь-якого зовнішнього круга (наприклад, $B$ і $C$) дорівнює сумі їхніх радіусів:
$OB=OC=R+r$

Оскільки діагоналі квадрата $ABCD$ перетинаються в точці $O$ під прямим кутом і діляться навпіл, трикутник $△BOC$ є рівнобедреним і прямокутним ($\angle BOC=90^{\circ }$) з катетами $OB=OC=R+r$ та гіпотенузою $BC=2R$.

За теоремою Піфагора для $△BOC$:
$O{B}^2+O{C}^2=B{C}^2$
$(R+r{)}^2+(R+r{)}^2=(2R{)}^2$
$2\cdot (R+r{)}^2=4R^2$
$(R+r{)}^2=2R^2$

Оскільки довжини відрізків є додатними величинами, добудемо квадратний корінь з обох частин рівності:
$R+r=R\sqrt{2}$

Виразимо $R$ через $r$:
$R\sqrt{2}-R=r$
$R(\sqrt{2}-1)=r$
$R=\frac{r}{\sqrt{2}-1}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз $(\sqrt{2}+1)$:
$R=\frac{r(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{r(\sqrt{2}+1)}{2-1}=r(\sqrt{2}+1)$

3. Обчислення площі круга

Площа круга радіуса $R$ обчислюється за формулою:
$S=\pi R^2$

Підставимо отримане значення $R$:
$S=\pi {\left(r(\sqrt{2}+1)\right)}^2=\pi r^2(\sqrt{2}+1{)}^2$

Застосуємо формулу квадрата суми:
$(\sqrt{2}+1{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$

Отже, площа одного з чотирьох кругів дорівнює:
$S=\pi r^2(3+2\sqrt{2})$

Відповідь: $\pi r^2(3+2\sqrt{2})$