Завдання № 48. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Основа рівнобедреного трикутника дорівнює $24 см$ , а висота, проведена до неї, — $16 см$ . Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано рівнобедрений трикутник $△ A B C$ , у якому $A B = B C$ , основа $A C = 24 см$ , а висота, проведена до основи, — $B K = 16 см$ .

1. Знаходження бічної сторони трикутника
У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є також його медіаною. Тому точка $K$ є серединою відрізка $A C$ :
$A K = K C = \frac{A C}{2} = \frac{24}{2} = 12 см$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ A B K$ ( $∠ B K A = 9 0^{\circ}$ ). За теоремою Піфагора знайдемо довжину бічної сторони $A B$ :
$A B^{2} = A K^{2} + B K^{2}$
$A B^{2} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 144 + 256 = 400$
$A B = 400 = 20 см$
Отже, бічні сторони дорівнюють $A B = B C = 20 см$ .

2. Обчислення площі трикутника
Площу трикутника $△ A B C$ знайдемо за формулою половини добутку сторони на проведену до неї висоту:
$S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B K = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192 см^{2}$

3. Знаходження радіуса описаного кола
Радіус $R$ кола, описаного навколо трикутника зі сторонами $a$ , $b$ , $c$ та площею $S$ , обчислюється за формулою:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot S}$

Підставимо отримані значення:
$R = \frac{A B \cdot B C \cdot A C}{4 \cdot S} = \frac{20 \cdot 20 \cdot 24}{4 \cdot 192} = \frac{9600}{768} = 12, 5 см$

(Альтернативний геометричний спосіб: оскільки трикутник рівнобедрений, центр описаного кола $O$ лежить на висоті $B K$ . Тоді $O B = O A = R$ , а $O K = B K - R = 16 - R$ . Із прямокутного трикутника $△ A K O$ за теоремою Піфагора: $A K^{2} + O K^{2} = O A^{2} ⟹ 1 2^{2} + (16 - R)^{2} = R^{2} ⟹ 144 + 256 - 32 \cdot R + R^{2} = R^{2} ⟹ 400 = 32 \cdot R ⟹ R = 12, 5 см$ ).

Відповідь: $12, 5 см$ .

Завдання № 48. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку