Завдання № 48. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано вектори $\vec{a}(2;y)$ і $\vec{b}(4;-1)$. За яких значень $y$ кут між векторами $\vec{a}$ і $\vec{b}$:

1) гострий;

2) прямий;

3) тупий?

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження скалярного добутку векторів

За означенням скалярного добутку векторів через їхні координати:

Підставимо відповідні координати векторів $\vec{a}(2;y)$ та $\vec{b}(4;-1)$:

Косинус кута $\phi$ між ненульовими векторами визначається за формулою:

Оскільки довжини векторів $|\vec{a}|>0$ і $|\vec{b}|>0$, то знак $\cos \phi$ повністю визначається знаком скалярного добутку $\vec{a}\cdot \vec{b}$. Кут між векторами може набувати значень у межах $0^{\circ }\le \phi \le 180^{\circ }$.

2. Умова колінеарності векторів

Знайдемо значення $y$, за якого вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ колінеарні. Для колінеарних векторів їхні відповідні координати є пропорційними:

Оскільки коефіцієнт пропорційності додатний ($\frac{2}{4}=\frac{1}{2}>0$), при $y=-\frac{1}{2}$ вектори є співнапрямленими ($\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$), тобто кут між ними дорівнює $\phi =0^{\circ }$.

Протилежно напрямленими вектори бути не можуть, оскільки коефіцієнт відношення перших координат $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}>0$. Отже, випадок $\phi =180^{\circ }$ неможливий для жодного дійсного значення $y$.

3. Дослідження кута між векторами

1) Кут між векторами є гострим, якщо $0^{\circ }<\phi <90^{\circ }$.
Для цього косинус кута має бути строго додатним ($\cos \phi >0$), а кут не повинен дорівнювати $0^{\circ }$:

Виключаємо випадок співнапрямлених векторів ($\phi =0^{\circ }$), тобто $y\ne -\frac{1}{2}$.
Отже, $y<-\frac{1}{2}$ або $-\frac{1}{2}<y<8$.

2) Кут між векторами є прямим ($\phi =90^{\circ }$), якщо вектори перпендикулярні, тобто їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

3) Кут між векторами є тупим, якщо $90^{\circ }<\phi <180^{\circ }$.
Для цього косинус кута має бути від’ємним ($\cos \phi <0$):

Оскільки значення $\phi =180^{\circ }$ не досягається за жодного значення $y$, за всіх $y>8$ кут між векторами буде саме тупим.

Відповідь:

1) $y<-\frac{1}{2}$ або $-\frac{1}{2}<y<8$;

2) $y=8$;

3) $y>8$.