Завдання № 48. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Коло дотикається до координатних осей. Складіть рівняння цього кола, якщо до осі абсцис воно дотикається в точці $A(2;0)$.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості дотику кола до осей координат
Рівняння кола з центром у точці $O(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

За умовою задачі коло дотикається до осі абсцис ($Ox$) у точці $A(2;0)$. За властивістю дотичної до кола, радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної. Оскільки дотичною є вісь $Ox$, лінія центрів проходить через точку $A(2;0)$ перпендикулярно до осі $Ox$ (по прямій $x=2$). Отже, абсциса центра кола дорівнює:
$a=2$

Коло також дотикається до осі ординат ($Oy$). Відстань від центра кола $O(a;b)$ до осі $Oy$ дорівнює радіусу $R$:
$R=|a|=|2|=2$

2. Знаходження координат центра кола
Оскільки коло дотикається до осі $Ox$, відстань від його центра до осі абсцис також дорівнює радіусу $R$:
$|b|=R=2⟹b=2\text{або}b=-2$

Отже, існують два кола, які задовольняють умову: одне розташоване у першій координатній чверті, а друге — у четвертій.

3. Складання рівнянь кіл

Перший випадок: центр кола розташований у I координатній чверті:
$O_1(2;2),R=2$
Підставимо координати центра та радіус у загальне рівняння:
$(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=2^2$
$(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$

Другий випадок: центр кола розташований у IV координатній чверті:
$O_2(2;-2),R=2$
Підставимо координати центра та радіус у загальне рівняння:
$(x-2{)}^2+(y-(-2){)}^2=2^2$
$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=4$

Відповідь:
$(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$ або $(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=4$.