Завдання № 47. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

На сторонах правильного шестикутника зовні нього побудовано квадрати. Вершини квадратів, які не є вершинами шестикутника, сполучено послідовно відрізками.

1) Доведіть, що дванадцятикутник, який при цьому утворився, є правильним.

2) Знайдіть площу дванадцятикутника, якщо сторона початкового шестикутника дорівнює $a$.

Покроковий розв’язок:

1. Доведення того, що утворений дванадцятикутник є правильним

Многокутник є правильним, якщо в нього всі сторони рівні та всі кути рівні.

Нехай $ABCDFK$ — правильний шестикутник зі стороною $a$.

Знайдемо градусну міру внутрішнього кута правильного шестикутника:
${\alpha }_6=\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ }}{6}=\frac{4\cdot 180^{\circ }}{6}=120^{\circ }$
Отже, $\angle ABC=120^{\circ }$.

Оскільки на кожній зі сторін шестикутника зовні побудовано квадрати зі стороною $a$, кожен кут цих квадратів дорівнює $90^{\circ }$, а всі їхні сторони дорівнюють $a$.

Розглянемо кути навколо вершини $B$. Повний кут становить $360^{\circ }$ та складається з кута шестикутника $\angle ABC$, двох кутів прилеглих квадратів та кута $\angle MBP$:
$\angle ABC+90^{\circ }+90^{\circ }+\angle MBP=360^{\circ }$
$120^{\circ }+180^{\circ }+\angle MBP=360^{\circ }$
$\angle MBP=360^{\circ }-300^{\circ }=60^{\circ }$

Розглянемо трикутник $△MBP$:

• Сторони $BM=BP=a$ як сторони квадратів, отже, $△MBP$ — рівнобедрений з основою $MP$.
• Оскільки кут при вершині $\angle MBP=60^{\circ }$, кути при основі дорівнюють:
  $\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$
  Отже, трикутник $△MBP$ — рівносторонній, звідки $MP=a$.

Аналогічно між усіма шістьма парами сусідніх квадратів утворюються рівносторонні трикутники зі стороною $a$.

Утворений дванадцятикутник складається з:

• $6$ зовнішніх сторін побудованих квадратів (кожна довжиною $a$);
• $6$ відрізків, що сполучають вершини сусідніх квадратів (кожен довжиною $a$).

Таким чином, усі $12$ сторін дванадцятикутника рівні між собою:
$a_{12}=a$

Тепер знайдемо величину внутрішніх кутів дванадцятикутника. Розглянемо кут при вершині $P$. Він утворений стороною квадрата та стороною рівностороннього трикутника $△MBP$:
$\angle =90^{\circ }+60^{\circ }=150^{\circ }$
Такі самі міркування справедливі для кожної з $12$ вершин дванадцятикутника.

Внутрішній кут правильного дванадцятикутника за формулою дорівнює:
${\alpha }_{12}=\frac{(12-2)\cdot 180^{\circ }}{12}=\frac{10\cdot 180^{\circ }}{12}=150^{\circ }$

Оскільки в утвореного дванадцятикутника всі сторони рівні та всі кути рівні $150^{\circ }$, він є правильним, що й треба було довести.

2. Обчислення площі дванадцятикутника

Площа утвореного дванадцятикутника складається з трьох складових:

1) Площі центрального правильного шестикутника зі стороною $a$, який складається з $6$ рівних рівносторонніх трикутників зі стороною $a$:
$S_{\text{шест}}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2) Площі $6$ квадратів зі стороною $a$:
$S_{\text{кв}}=6\cdot a^2$

3) Площі $6$ рівносторонніх трикутників зі стороною $a$, утворених між сусідніми квадратами:
$S_{△}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Знайдемо загальну площу многокутника як суму площ його складових:

Відповідь:
$3a^2(\sqrt{3}+2)$.