Завдання № 47. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Рівнобедрений прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює $3\sqrt{2}\text{ см}$, обертається навколо одного з катетів. Знайдіть об’єм утвореного конуса.

Покроковий розв’язок:

1. Знайдемо довжину катетів прямокутного трикутника

Нехай катети рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнюють $a$.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника:
$a^2+a^2=(3\sqrt{2}{)}^2$

Розв’яжемо отримане рівняння:

Отже, катети трикутника дорівнюють $3\text{ см}$.

2. Визначимо геометричні параметри утвореного тіла обертання

При обертанні прямокутного трикутника навколо одного з катетів утворюється прямий круговий конус, у якого:

• віссю і висотою $h$ є катет, навколо якого здійснюється обертання: $h=a=3\text{ см}$;
• радіусом основи $r$ є другий катет: $r=a=3\text{ см}$;
• твірною конуса є гіпотенуза трикутника: $l=3\sqrt{2}\text{ см}$.

3. Обчислимо об’єм утвореного конуса

Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Підставимо знайдені значення радіуса та висоти:
$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 3=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 9\cdot 3=9\pi {\text{ см}}^3$

Відповідь:
$9\pi {\text{ см}}^3$