Завдання № 47. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У круговий сектор, дуга якого містить $60^{\circ }$, вписано коло радіуса $r\text{ см}$, як показано на малюнку 1 (коло дотикається до радіусів і дуги, що обмежують сектор). Знайдіть площу сектора.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз геометричної конфігурації:
Нехай точка $O$ — вершина кругового сектора (центр більшого кола), а $O_1$ — центр вписаного кола радіуса $r$.
Нехай вписане коло дотикається до радіусів сектора $OB$ і $OK$ у точках $B$ та $K$ відповідно, а до дуги сектора — у точці $M$.

2. Знаходження відстані між центрами $O{O}_1$:

• Оскільки радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної, маємо:
  $O_{1}B\perp OB,O_{1}K\perp OK,O_{1}B=O_{1}K=r$
• Центр вписаного кола $O_1$ рівновіддалений від сторін кута $\angle BOK$, тому промінь $O{O}_1$ є бісектрисою кута сектора:
  $\angle KO{O}_1=\frac{\angle BOK}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$
• Розглянемо прямокутний трикутник $△OK{O}_1$ ($\angle OK{O}_1=90^{\circ }$):
  За означенням синуса гострого кута:
  $\sin (\angle KO{O}_1)=\frac{O_{1}K}{O{O}_1}⟹O{O}_1=\frac{O_{1}K}{\sin 30^{\circ }}=\frac{r}{\frac{1}{2}}=2\cdot r=2r$

3. Знаходження радіуса сектора:
Оскільки вписане коло дотикається дуги сектора внутрішнім чином у точці $M$, точки $O$, $O_1$ і $M$ лежать на одній прямій. Відповідно, радіус сектора $R=OM$ дорівнює:
$R=OM=O{O}_1+O_{1}M=2r+r=3r$

4. Обчислення площі сектора:
Площа кругового сектора з радіусом $R=3r$ та центральним кутом $\alpha =60^{\circ }$ обчислюється за формулою:
$S=\frac{\pi \cdot R^2}{360^{\circ }}\cdot \alpha$

Підставимо значення $R=3r$ та $\alpha =60^{\circ }$:
$S=\frac{\pi \cdot (3r{)}^2}{360^{\circ }}\cdot 60^{\circ }=\frac{\pi \cdot 9r^2}{6}=\frac{3\pi r^2}{2}{\text{ (см}}^2\text{)}$

Відповідь:
$\frac{3\pi r^2}{2}{\text{ см}}^2$ (або $1,5\pi r^2{\text{ см}}^2$)