Завдання № 46. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У коло вписано правильний трикутник $ABK$ і квадрат $BCMN$. Знайдіть градусну міру кута $ABC$.

Покроковий розв’язок:

Нехай точка $O$ — центр кола, описаного навколо правильного трикутника $ABK$ та квадрата $BCMN$, а $R$ — радіус цього кола ($OA=OB=OC=R$).

1. Знаходження кутів трикутників $AOB$ та $BOC$

1) Розглянемо сторону $AB$ правильного трикутника $ABK$:

• Центральний кут, що спирається на сторону правильного трикутника, дорівнює:
  $\angle AOB=\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$
• Оскільки $OA=OB=R$, то $△AOB$ — рівнобедрений з основою $AB$. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні:
  $\angle OBA=\angle OAB=\frac{180^{\circ }-\angle AOB}{2}=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$

2) Розглянемо сторону $BC$ квадрата $BCMN$:

• Центральний кут, що спирається на сторону квадрата, дорівнює:
  $\angle BOC=\frac{360^{\circ }}{4}=90^{\circ }$
• Оскільки $OB=OC=R$, то $△BOC$ — рівнобедрений з основою $BC$. Кути при його основі рівні:
  $\angle OBC=\angle OCB=\frac{180^{\circ }-\angle BOC}{2}=\frac{180^{\circ }-90^{\circ }}{2}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

2. Обчислення кута $ABC$

Взаємне розташування вершин правильного трикутника та квадрата зі спільною вершиною $B$ на колі можливе у двох випадках:

• Перший випадок: точки $A$ і $C$ лежать по один бік від прямої $OB$.
  Оскільки $\angle OBA=30^{\circ }$, а $\angle OBC=45^{\circ }$, промінь $BA$ проходить між променями $BO$ і $BC$. За аксіомою вимірювання кутів:
  $\angle ABC=\angle OBC-\angle OBA=45^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }$

• Другий випадок: точки $A$ і $C$ лежать по різні боки від прямої $OB$.
  У цьому разі промінь $OB$ проходить між променями $BA$ і $BC$. За аксіомою вимірювання кутів:
  $\angle ABC=\angle OBA+\angle OBC=30^{\circ }+45^{\circ }=75^{\circ }$

Відповідь:
$15^{\circ }$ або $75^{\circ }$.