Завдання № 46. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Вершини трикутника $A B C$ мають координати $A (0; 4)$ , $B (3; 0)$ , $C (3; 4)$ . Після паралельного перенесення центр вписаного у трикутник кола перейшов у початок координат. У яку точку перейшов центр кола, описаного навколо цього трикутника?

Покроковий розв’язок:

1. Визначення виду трикутника та довжин його сторін

Знайдемо довжини сторін трикутника за координатами його вершин:

Сторона $A C$ лежить на горизонтальній прямій $y = 4$ :
$A C = ∣3 - 0∣ = 3$
Сторона $B C$ лежить на вертикальній прямій $x = 3$ :
$B C = ∣4 - 0∣ = 4$

Оскільки прямі $y = 4$ та $x = 3$ взаємно перпендикулярні, кут $∠ C = 9 0^{\circ}$ , тобто трикутник $△ A B C$ є прямокутним із прямим кутом при вершині $C$ .

За теоремою Піфагора знайдемо довжину гіпотенузи $A B$ :
$A B = A C^{2} + B C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$

2. Знаходження координат центра вписаного кола

Радіус $r$ кола, вписаного в прямокутний трикутник з катетами $a$ , $b$ та гіпотенузою $c$ , обчислюється за формулою:
$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{A C + B C - A B}{2}$

Підставимо відомі значення:
$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Вершина прямого кута має координати $C (3; 4)$ . Оскільки трикутник розташований ліворуч від прямої $x = 3$ та нижче від прямої $y = 4$ , координати центра вписаного кола $I (x_{I}; y_{I})$ дорівнюють:
$x_{I} = x_{C} - r = 3 - 1 = 2$
$y_{I} = y_{C} - r = 4 - 1 = 3$

Отже, центр вписаного кола розташований у точці $I (2; 3)$ .

3. Знаходження координат центра описаного кола

За властивістю прямокутного трикутника, центр описаного навколо нього кола $O (x_{O}; y_{O})$ є серединою гіпотенузи $A B$ .

Обчислимо його координати як координати середини відрізка $A B$ , де $A (0; 4)$ і $B (3; 0)$ :
$x_{O} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2} = \frac{0 + 3}{2} = 1, 5$
$y_{O} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2$

Отже, центр описаного кола лежить у точці $O (1, 5; 2)$ .

4. Визначення формул паралельного перенесення та образу точки $O$

За умовою задачі, точка $I (2; 3)$ перейшла в початок координат $(0; 0)$ .

Вектор паралельного перенесення дорівнює:
$v = (0 - 2; 0 - 3) = (- 2; - 3)$

Формули даного паралельного перенесення мають вигляд:
$x^{'} = x - 2$
$y^{'} = y - 3$

Знайдемо координати точки $O^{'} (x^{'}; y^{'})$ , в яку переходить центр описаного кола $O (1, 5; 2)$ :
$x^{'} = 1, 5 - 2 = - 0, 5$
$y^{'} = 2 - 3 = - 1$

Таким чином, центр описаного кола перейшов у точку $(- 0, 5; - 1)$ .

Відповідь:
$(- 0, 5; - 1)$

Завдання № 46. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку