Завдання № 46. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кінці хорди, довжина якої дорівнює $8\sqrt{2}\text{ см}$, ділять коло у відношенні $1:3$. Знайдіть площі двох утворених кругових сегментів.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення градусних мір дуг і відповідних центральних кутів

Повне коло містить $360^{\circ }$. Хорда $AB$ ділить коло на дві дуги у відношенні $1:3$, тобто все коло поділено на $1+3=4$ рівні частини.

Знайдемо градусну міру меншої дуги та відповідного центрального кута $\angle AOB$:

Градусна міра більшої дуги становить:

2. Знаходження радіуса кола

Розглянемо трикутник $△AOB$. Оскільки сторони $OA$ і $OB$ є радіусами кола ($OA=OB=R$), а кут між ними дорівнює $\angle AOB=90^{\circ }$, то $△AOB$ — прямокутний і рівнобедрений з гіпотенузою $AB=8\sqrt{2}\text{ см}$.

За теоремою Піфагора:

3. Обчислення площі меншого сегмента $S_1$

Площа меншого кругового сегмента дорівнює різниці площі сектора з кутом $90^{\circ }$ та площі прямокутного трикутника $△AOB$:

• Площа сектора:

• Площа трикутника:

Звідси отримуємо площу меншого сегмента:

4. Обчислення площі більшого сегмента $S_2$

Площа всього круга дорівнює:

Площа більшого сегмента дорівнює різниці площі повного круга та меншого сегмента:

Відповідь:
$(16\pi -32){\text{ см}}^2$ та $(48\pi +32){\text{ см}}^2$