Завдання № 46. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Сторони паралелограма дорівнюють $16\text{ см}$ і $10\text{ см}$, а кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, дорівнює $120^{\circ }$. Знайдіть площу паралелограма.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз умови та властивостей кутів між висотами

Нехай дано паралелограм $ABCD$, у якому $AD=16\text{ см}$, $AB=10\text{ см}$.

Оскільки висоти утворюють кут $120^{\circ }>90^{\circ }$, вони проведені з вершини тупого кута паралелограма. Проведемо висоти з вершини $C$:

• $CK\perp AB$ (на пряму, що містить сторону $AB$);
• $CM\perp AD$ (на пряму, що містить сторону $AD$).

За умовою, $\angle KCM=120^{\circ }$.

2. Знаходження кутів паралелограма

Розглянемо чотирикутник $AKCM$:

• $CM\perp AD⟹\angle AMC=90^{\circ }$;
• $CK\perp AB⟹\angle AKC=90^{\circ }$;
• $\angle KCM=120^{\circ }$.

Сума кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює $360^{\circ }$, отже:

Таким чином, гострий кут паралелограма $\angle A=60^{\circ }$.

(Зауважимо: цей факт випливає з відомої геометричної властивості — кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює його гострому куту).

3. Обчислення площі паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними:

Підставимо відомі числові значення:

Відповідь: $80\sqrt{3}{\text{ см}}^2$