Завдання № 46. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Доведіть, що ненульові вектори $a (m; n)$ і $b (- n; m)$ взаємно перпендикулярні.

Покроковий розв’язок:

1. Теоретична основа
За означенням та властивостями скалярного добутку, два ненульові вектори взаємно перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0

2. Обчислення скалярного добутку в координатах
Якщо вектори задано координатами $a (x_{1}; y_{1})$ та $b (x_{2}; y_{2})$ , їхній скалярний добуток обчислюється як сума добутків відповідних координат:

a \cdot b = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}

Підставимо координати заданих векторів $a (m; n)$ і $b (- n; m)$ :

a \cdot b = m \cdot (- n) + n \cdot m = - mn + mn = 0

3. Висновок
Оскільки скалярний добуток векторів дорівнює $0$ , а самі вектори за умовою є ненульовими, то вектори $a$ і $b$ взаємно перпендикулярні ( $a ⊥ b$ ), що й треба було довести.

4. Геометрична ілюстрація твердження

x
y
0

a(m; n)
b(-n; m)

Відповідь:
Доведено, оскільки $a \cdot b = m \cdot (- n) + n \cdot m = 0$ , що є необхідною і достатньою умовою перпендикулярності ненульових векторів ( $a ⊥ b$ ).

Завдання № 46. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку