Завдання № 46. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Пряма $MN$ паралельна стороні $AB$ трикутника $ABC$, причому точка $M$ належить стороні $AC$, а точка $N$ — стороні $BC$. Знайдіть довжину сторони $AC$, якщо $AB=5\text{ см}$, $MN=2\text{ см}$, $AM=1\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Доведення подібності трикутників
Розглянемо трикутники $CMN$ та $CAB$.
За умовою пряма $MN\parallel AB$. Відповідно, при перетині паралельних прямих $MN$ і $AB$ січними $AC$ та $BC$ утворюються рівні відповідні кути:

• $\angle CMN=\angle CAB$;
• $\angle CNM=\angle CBA$.

Кут $\angle C$ є спільним для обох трикутників.
Отже, за двома кутами (перша ознака подібності трикутників):
$△CMN\sim △CAB$

2. Складання пропорції відповідних сторін
З подібності трикутників $△CMN\sim △CAB$ випливає пропорційність відповідних сторін:
$\frac{MN}{AB}=\frac{CM}{CA}$

Оскільки точка $M$ лежить між точками $A$ і $C$, сторону $AC$ можна подати як суму відрізків:
$AC=CM+AM⟹CM=AC-AM$

Підставимо відоме значення $AM=1\text{ см}$:
$CM=AC-1$

3. Обчислення довжини сторони $AC$
Нехай довжина сторони $AC=x\text{ см}$ (де $x>1$). Тоді $CM=(x-1)\text{ см}$.

Підставимо значення довжин у пропорцію:
$\frac{2}{5}=\frac{x-1}{x}$

Скористаємося основною властивістю пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх):
$2\cdot x=5\cdot (x-1)$
$2x=5x-5$
$5x-2x=5$
$3x=5$
$x=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$

Таким чином, довжина сторони $AC$ дорівнює $\frac{5}{3}\text{ см}$ (або $1\frac{2}{3}\text{ см}$).

Відповідь:
$\frac{5}{3}\text{ см}$ (або $1\frac{2}{3}\text{ см}$).