Завдання № 45. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Навколо круга описано рівнобічну трапецію з основами $a$ і $b$ . Знайдіть площу круга.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано рівнобічну трапецію $A B C D$ , у якій основи $B C = a$ та $A D = b$ (де $b > a$ ), а бічні сторони $A B = C D$ .

1. Властивість сторін описаного чотирикутника

За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола, суми його протилежних сторін є рівними:
$A B + C D = B C + A D = a + b$

Оскільки трапеція рівнобічна ( $A B = C D$ ), маємо:
$2 \cdot C D = a + b ⟹ C D = \frac{a + b}{2}$

2. Зв’язок діаметра круга та висоти трапеції

Висота трапеції $h$ , проведена між паралельними основами, дорівнює діаметру $d$ вписаного круга:
$h = d = 2 R$

Проведемо висоту $C K ⊥ A D$ .

У рівнобічній трапеції відрізок більшої основи $K D$ між основою висоти та вершиною дорівнює піврізниці основ:
$K D = \frac{A D - B C}{2} = \frac{b - a}{2}$

3. Знаходження діаметра круга

Розглянемо прямокутний трикутник $△ C K D$ ( $∠ C K D = 9 0^{\circ}$ ).

За теоремою Піфагора:
$C K^{2} = C D^{2} - K D^{2}$

Підставимо отримані вирази для $C D$ та $K D$ :

d^{2} = (\frac{a + b}{2})^{2} - (\frac{b - a}{2})^{2} = \frac{( a + b ) ^{2} - ( b - a ) ^{2}}{4} = \frac{( a ^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b ^{2} ) - ( b ^{2} - 2 \cdot a \cdot b + a ^{2} )}{4} = \frac{4 \cdot a \cdot b}{4} = a \cdot b

Отже, квадрат діаметра вписаного кола становить $d^{2} = a \cdot b$ .

4. Обчислення площі круга

Площу круга через його діаметр обчислюють за формулою:
$S = \frac{π \cdot d ^{2}}{4}$

Підставляючи значення $d^{2} = a \cdot b$ , отримуємо:
$S = \frac{π \cdot a \cdot b}{4}$

Відповідь: $\frac{π \cdot a \cdot b}{4}$ (або $\frac{π ab}{4}$ )

Завдання № 45. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку