Завдання № 45. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть об’єм і площу повної поверхні конуса, у якого твірна дорівнює $5\text{ см}$, а радіус основи — $3\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження висоти конуса
Осьовий переріз конуса містить прямокутний трикутник, катетами якого є висота конуса $h$ та радіус його основи $r$, а гіпотенузою — твірна $l$.

За теоремою Піфагора:
$h^2+r^2=l^2⟹h=\sqrt{l^2-r^2}$

Підставимо відомі значення твірної $l=5\text{ см}$ та радіуса $r=3\text{ см}$:
$h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\text{ см}$

2. Обчислення об’єму конуса
Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Підставимо значення радіуса $r=3\text{ см}$ та висоти $h=4\text{ см}$:
$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 4=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 9\cdot 4=12\pi {\text{ см}}^3$

3. Обчислення площі повної поверхні конуса
Площа повної поверхні конуса $S$ складається з площі бічної поверхні $S_{\text{біч}}$ та площі основи $S_{\text{осн}}$:
$S=S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}}=\pi \cdot r\cdot l+\pi \cdot r^2$

Обчислимо значення:
$S=\pi \cdot 3\cdot 5+\pi \cdot 3^2=15\pi +9\pi =24\pi {\text{ см}}^2$

Відповідь:
$12\pi {\text{ см}}^3$; $24\pi {\text{ см}}^2$.