Завдання № 45. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
При паралельному перенесенні точка $A(5;-2)$ перейшла в точку $A^{\prime }(4;0)$. Запишіть рівняння образу кривої $x^2-2x+y^2+4y=0$ при цьому паралельному перенесенні та побудуйте його.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення формул паралельного перенесення
Нехай паралельне перенесення задається вектором $\vec{p}(a;b)$. Тоді координати образу $(x^{\prime };y^{\prime })$ точки $(x;y)$ виражаються формулами:

Оскільки точка $A(5;-2)$ переходить у точку $A^{\prime }(4;0)$, маємо:

Отже, формули паралельного перенесення мають вигляд:

Звідси виразимо початкові координати через нові:

2. Зведення рівняння початкової кривої до канонічного вигляду
Перетворимо рівняння $x^2-2x+y^2+4y=0$, виділивши повні квадрати за змінними $x$ та $y$:

Отримане рівняння задає коло з центром у точці $O(1;-2)$ і радіусом $R=\sqrt{5}$.

3. Знаходження образу кривої
При паралельному перенесенні геометричні фігури переходять у рівні їм фігури (зберігаються відстані та радіуси), тому образом даного кола буде коло того самого радіуса $R=\sqrt{5}$.

Знайдемо координати нового центра $O^{\prime }$:

Центр образу — точка початку координат $O^{\prime }(0;0)$.

Запишемо рівняння шуканого кола:

4. Побудова кола
Для побудови кола радіуса $R=\sqrt{5}$ за теоремою Піфагора будуємо прямокутний трикутник з вершиною в початку координат $O(0;0)$ і катетами завдовжки $2$ та $1$ одиничних відрізків вздовж координатних осей. Довжина гіпотенузи такого трикутника становить $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$, що є радіусом нашого кола, а точка $(2;1)$ лежить на цьому колі.

Відповідь:
$x^2+y^2=5$