Завдання № 45. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює $18\text{ см}$, а градусна міра відповідного центрального кута $\alpha$ становить:

1) $60^{\circ }$;

2) $135^{\circ }$;

3) $150^{\circ }$;

4) $240^{\circ }$;

5) $300^{\circ }$;

6) $330^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Площа кругового сектора радіуса $R$ із центральним кутом $\alpha$ визначається за формулою:
$S_{\text{сект}}=\frac{\pi R^2\cdot \alpha }{360^{\circ }}$

Площа рівнобедреного трикутника з бічними сторонами $R$ і кутом $\alpha$ між ними дорівнює:
$S_{△}=\frac{1}{2}{R}^2\sin \alpha$

При обчисленні площі сегмента враховують величину центрального кута:

• Якщо $\alpha <180^{\circ }$ (сегмент менший за півкруг), то його площа дорівнює різниці площ відповідного сектора і трикутника:
  $S_{\text{сегм}}=S_{\text{сект}}-S_{△}=\frac{\pi R^2\alpha }{360^{\circ }}-\frac{1}{2}{R}^2\sin \alpha$
• Якщо $\alpha >180^{\circ }$ (сегмент більший за півкруг), то його площа дорівнює сумі площі відповідного сектора та площі трикутника:
  $S_{\text{сегм}}=S_{\text{сект}}+S_{△}=\frac{\pi R^2\alpha }{360^{\circ }}+\frac{1}{2}{R}^2\sin (360^{\circ }-\alpha )$

За умовою задачі $R=18\text{ см}$, отже:
$R^2=18^2=324{\text{ см}}^2$
$\frac{1}{2}{R}^2=\frac{1}{2}\cdot 324=162{\text{ см}}^2$

Обчислимо площу сегмента для кожного значення кута:

1) Для кута $\alpha =60^{\circ }$ ($\alpha <180^{\circ }$):
$S_{\text{сегм}}=\frac{\pi \cdot 324\cdot 60^{\circ }}{360^{\circ }}-\frac{1}{2}\cdot 324\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{324\pi }{6}-162\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=54\pi -81\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

2) Для кута $\alpha =135^{\circ }$ ($\alpha <180^{\circ }$):
$S_{\text{сегм}}=\frac{\pi \cdot 324\cdot 135^{\circ }}{360^{\circ }}-\frac{1}{2}\cdot 324\cdot \sin 135^{\circ }$
Оскільки $\frac{135^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{3}{8}$ та $\sin 135^{\circ }=\sin (180^{\circ }-45^{\circ })=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$S_{\text{сегм}}=\frac{324\pi \cdot 3}{8}-162\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{81\pi \cdot 3}{2}-81\sqrt{2}=121,5\pi -81\sqrt{2}{\text{ см}}^2$

3) Для кута $\alpha =150^{\circ }$ ($\alpha <180^{\circ }$):
$S_{\text{сегм}}=\frac{\pi \cdot 324\cdot 150^{\circ }}{360^{\circ }}-\frac{1}{2}\cdot 324\cdot \sin 150^{\circ }$
Оскільки $\frac{150^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{5}{12}$ та $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=0,5$:
$S_{\text{сегм}}=\frac{324\pi \cdot 5}{12}-162\cdot 0,5=27\pi \cdot 5-81=135\pi -81{\text{ см}}^2$

4) Для кута $\alpha =240^{\circ }$ ($\alpha >180^{\circ }$):
$S_{\text{сегм}}=\frac{\pi \cdot 324\cdot 240^{\circ }}{360^{\circ }}+\frac{1}{2}\cdot 324\cdot \sin (360^{\circ }-240^{\circ })=\frac{\pi \cdot 324\cdot 2}{3}+162\cdot \sin 120^{\circ }$
Оскільки $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:
$S_{\text{сегм}}=108\pi \cdot 2+162\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=216\pi +81\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

5) Для кута $\alpha =300^{\circ }$ ($\alpha >180^{\circ }$):
$S_{\text{сегм}}=\frac{\pi \cdot 324\cdot 300^{\circ }}{360^{\circ }}+\frac{1}{2}\cdot 324\cdot \sin (360^{\circ }-300^{\circ })=\frac{\pi \cdot 324\cdot 5}{6}+162\cdot \sin 60^{\circ }$
Оскільки $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:
$S_{\text{сегм}}=54\pi \cdot 5+162\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=270\pi +81\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

6) Для кута $\alpha =330^{\circ }$ ($\alpha >180^{\circ }$):
$S_{\text{сегм}}=\frac{\pi \cdot 324\cdot 330^{\circ }}{360^{\circ }}+\frac{1}{2}\cdot 324\cdot \sin (360^{\circ }-330^{\circ })=\frac{\pi \cdot 324\cdot 11}{12}+162\cdot \sin 30^{\circ }$
Оскільки $\sin 30^{\circ }=0,5$:
$S_{\text{сегм}}=27\pi \cdot 11+162\cdot 0,5=297\pi +81{\text{ см}}^2$

Відповідь:

1) $(54\pi -81\sqrt{3}){\text{ см}}^2$;

2) $(121,5\pi -81\sqrt{2}){\text{ см}}^2$;

3) $(135\pi -81){\text{ см}}^2$;

4) $(216\pi +81\sqrt{3}){\text{ см}}^2$;

5) $(270\pi +81\sqrt{3}){\text{ см}}^2$;

6) $(297\pi +81){\text{ см}}^2$.